Transformadas

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de Laplace

Algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homogénea s con coeficientes constantes suelen tener como parte no homogénea una función f (t) que no es continua. El análisis de estos problemas es más sencillo cuando se utiliza el método de la transformada de Laplace.
Definición de la Transformada de Laplace
Definición 1(Transformada de Laplace) Sea f (t) una función con dominio en [0, ∞).
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
 es llamado el operador de la transformada de Laplace.
La Transformada de Laplace de f (t) es la función F (s) que se obtiene como sigue:

Nótese que F (s)es una función en la variable s cuyo d minio consta de todos los valores de s para los cuales la integral existe es decir es convergente. Además es una integral impropia, por lo que:

lo cual restringe las funciónes f (t) que para las cuales puede existir transformada de Laplace.

La transformada de Laplace de una función cualquiera se denota utilizando la letra mayúscula correspondiente a lafunción Transformada o utilizando notación de operadores como L{.}; por ejemplo la transformada de Laplace de una función g (t) se denotaría como G (s) o L {g} (t).

Ejemplo
Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

Evaluando el límite de la última expresión nos damos cuenta que

De donde
Y
siempre y cuando s > 1, deotra manera este límite no existiría.

Por lo tanto la transformada de Laplace de es:

Transformada Inversa de Laplace

La Transformada Inversa de Laplace de una función F (s) es una función única L−1 {F } (t) = f (t), que es continua en [0, ∞), tal que satisface

En otras palabras, la transformada inversa de Laplace de una función F (s) es una función f (t) cuya TL sea F (s).
A latransformada inversa de una función se le denota con la letra minúscula correspondiente a la de su transformada o utilizando el operador transformada inversa L−1 {.}

Encuentre la transformada inversa de las siguientes funciones

Apoyados en la tabla de transformadas (renglón 5) tenemos que:

Apoyados en la tabla de transformadas (renglón 6) tenemos que:

Condiciones de Existencia de laTransformada de Laplace

Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de Laplace de una función es preciso definir un concepto para el teorema de existencia de la TL (Transformada de Laplace) de una función.

Se dice que una función f (t) es de orden exponencial α si existen constantes positivas T y M tales que para todo valor de t ≥T .
En otras palabras, una función es de ordenexponencial α, si se puede encontrar una función exponencial adecuada MeαT que esté por encima de la función f (t) a partir de un valor determinado para t.

Si f (t) es una función continua a trozos en [0, ∞) y de orden exponencial α, entonces L{f} (s) = F (s) existe para s > α.

La interpretación de este resultado es sencilla: ya que la transformada de Laplace es una integral impropia,esta integral converge siempre y cuando la función dada no crezca más rápido que la función exponencial e−st. Es preciso señalar que el teorema proporciona una condición suficiente más no necesaria para la existencia de la TL de una función, esto es que una función que no es de orden exponencial puede tener TL.

Transformada de Laplace de funciones usuales

TRANSFORMADA DE FOURIERTransformada de Fourier
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada...