transformadas

Transformada Z
En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZpodría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.

Definición
La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral
La TZ bilateral de una señal definidaen el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

Donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

Donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral
De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define comoEn el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo  ; es decir que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y lafunción X(z)suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.
Transformada Z inversa
La Transformada Z inversa se define

Donde  es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, debe contener todos los polos de.
Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando  es elcírculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier:

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier(DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z paraque coincida con el círculo unidad.
Región de convergencia (ROC)
La región de convergencia, también conocida como ROC, define la región donde la transformada-z existe. La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. La ROC para una x[n] es definida como el rango de z para la cual la transformada-z converge. Ya que la transformada–z es una serie depotencia, converge cuando  es absolutamente sumable.

Propiedades de la Región de Convergencia:
La región de convergencia tiene propiedades que dependen de las características de la señal, x[n].
La ROC no tiene que contener algún polo. Por definición un polo es donde x[z] es infinito. Ya que x[z] tiene que ser finita para toda la z para tener convergencia, no puede existir ningún polo para ROC.
Six[n] es una secuencia de duración finita, entonces la ROC es todo el plano-z, excepto en |z|=0 o |z|=∞.
Si x[n] es una secuencia del lado derecho entonces la ROC se extiende hacia fuera en el último polo desde x[z].
Si x[n] es una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC se extiende hacia dentro desde el polo más cercano en x[z].
Si x[n] es una secuencia con dos lados, la ROC va ser unanillo en el plano-z que está restringida en su interior y exterior por un polo.

Ejemplo 1 (Sin ROC)
Sea. Expandiendo  en  obtenemos

Siendo la suma

No hay ningún valor de  que satisfaga esta condición.
Ejemplo 2 (ROC causal)
Sea  (donde  es la función escalón). Expandiendo  en  obtenemos

Siendo la suma

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series...