Transmisión

SISTEMAS DE TRANSMISIÓN


TEMA 1: Deducir las Ecuaciones Diferenciales de la Línea de Transmisión de dos hilos a partir de las Ecuaciones de Maxwell.

La descripción de los fenómenos que se presentan en una línea, se expresan convenientemente por medio de los valores que adoptan la tensión “u” y la corriente “i”.
En general estos valores varían punto a punto a lo largo de la línea y sonfunciones del tiempo, es así que tenemos expresiones del tipo u(x,t) e i(x,t). Partiendo de las ecuaciones de Maxwell, se establece la relación entre u(x,t) e i(x,t) . Con el propósito de simplificar las expresiones matemáticas, los campos eléctricos E y D y magnéticos H Y B , como así también las tensiones u y corrientes i, serán escritos como funciones del tiempo. Por ejemplo u(x,t) será expresacomo u(x).
Considérese ahora un trozo de línea de longitud ∆X, compuesto por dos conductores cilíndricos de radio a, dispuestos en paralelo, separados entre si por una distancia pequeña respecto a la longitud de onda y 3 ubicados en el plano paralelo xz, según se muestra en la Figura 1.
Supóngase que dicho trozo de línea está sometido a una perturbación electromagnética que lo alcanza en todasu longitud, sin importarnos por ahora el origen de dicha perturbación.
Se puede considerar al campo inducción magnética B dirigido según el eje y, mientras que el campo eléctrico E está contenido en el plano xz.













La primera ecuación de Maxwell establece que el rotor del campo eléctrico E es igual a la derivada parcial temporal del campo B inducción magnética, cambiada designo, es decir:

( 1 )

Integrando el producto del rotor del campo eléctrico E, por el área sobre la superficie incremental ∆S, la cual está delimitada por la curva C (lazo ABCD de la Figura 1.), y aplicando el teorema de STOKES, se obtiene:

( 2 )


Integrando el producto de la derivada parcial temporal del campo inducción magnética B por la misma área incremental ∆S y teniendo encuenta que dicha área es invariante en el tiempo, se obtiene:

( 3 )


Resolviendo la integral curvilínea del campo eléctrico E, sobre la curva C definida en la figura resulta:
( 4 )

Por otra parte, la variación de tensión sobre la longitud incremental ∆X, cuando esta tiende a cero, resulta ser:

( 5 )


Mientras que las componentes del campo eléctrico, en el sentido longitudinal alos conductores son iguales a la caída de tensión por unidad de longitud en dichos conductores, es decir:



( 6 )




( 7 )

Donde r1, r2: son las resistencias por unidad de longitud de cada conductor, que para el caso aquí tratado son iguales, ya que ambos conductores componentes de la línea se suponen idénticos.
Donde li1, li2: son las inductancias intrínsecas por unidad de longitudde cada conductor, y aplicando el mismo razonamiento que para las resistencias, resultan iguales entre sí.
Es útil recordar que tanto los valores de las resistencias como de las inductancias intrínsecas son susceptibles a cambios con la frecuencia, como consecuencia del efecto pelicular. Teniendo en cuenta las consideraciones previas pueda escribirse que:
( 8 )

Donde
r: resistencia porunidad de longitud de los conductores componentes de la línea (r= 2r1 = 2r2 = r1 + r2).
li: inductancia intrínseca por unidad de longitud de los conductores componentes de la línea (li= 2li1 = 2li2 = li1 + li2).
I(x): i2(x)= -i1(x) corriente circulante por los conductores componentes de la línea.

Por otra parte, resolviendo la integral de superficie del vector inducción magnética B en lasuperficie incremental ∆S, resulta:
( 9 )

A demás se tiene que:

( 10 )

De donde se obtiene la siguiente igualdad:


( 11 )

Donde le: es la inductancia externa por unidad de longitud de la línea (inductancia externa del lazo ABCD de la Figura 1).
Siendo dicha inductancia externa invariante en el tiempo, la anterior ecuación puede rescribirse de la siguiente forma:

( 12 )

Si...