Transporte electrónco

Transmisión electrónica a través de constricciones cuánticas con
acoplamiento espín-órbita

22 de enero de 2014

Estudiaremos el transporte electrónico a través de un contacto cuántico puntual (QPC), modelado median2
2
te un potensial silla con un término de deformación Vsp (x, y) = − 1 m ω0 x2 − y 2 + m ωxy xy , en presencia
2

de un campo magnético perpendicular a la dirección depropagación de magnitud B . Se considerará efectos
de acoplamiento espín órbita general.
Sea Hσ el Hamiltoniano que describe el problema de estudio de la forma:

Hσ =

1
P2
+ Vsp (x, y) +
2 c2 Vsp (x, y) · (P × σ) + 2 g µB Bσz ,
2m
4m0

(1)

donde P = p + e A , A = B/2 (−y, x, 0). El término g es el factor giromagnético efectivo, µB el magnetón
c
de Bohr y σ son las matrices dePauli.
Nota:
P2
2m

1
2m

=

Vsp (x, y) = m
(P × σ)

p2 + p2 +
x
y

ωc
4

(xpy − ypx ) + m

2
2
−ω0 x + ωxy y ˆ + m
i

2
ωc
8

x2 + y 2

2
2
ω0 y + ωxy x ˆ
j

ˆ
= Py σzˆ − Px σzˆ + (Px σy − Py σx ) k
i
j

El Hamiltoniano Hσ se escribe explícitamente:

Hσ

=
+

1
2m
4m

p2 + p2 +
y
x
c2

ωc
4

(xpy − ypx ) + m

2
ωc
8

1
2
2
x2 + y 2− 2 m ω0 x2 − y 2 + m ωxy xy

1
2
2
2
2
−ω0 (xpy + ypx ) − ω0 mωc x2 − y 2 − ωxy (xpx − ypy ) + ωxy mωc xy σz + 2 g µB Bσz
2

(2)

En la Ec. (2) podemos ver como los términos dependientes de espín se encuentran desacoplados ya que
unicamente aparecen como función de σz , sin embargo, el Hamiltoniano se encuentra acoplado tanto en
posición como en momento.
A continuación serealizará el desacoplamiento entre posición y momento empleando múltiples transformaciones unitarias.

Desacoplamiento entre posición y momento
Se denen las siguientes constantes:
a=

1
m

,

b=

ωc
4 ,

c=m

2
2
eσ = m ωxy + σ 4c2 ωxy ωc ,

2
ωc
4 ,

2
2
dσ = m ω0 + σ 4c2 ω0 ωc ,

fσ = σ 4m

c2

2
ω0 ,

gσ = σ 4m

c2

ωc =
2
ωxy ,

donde σ = ± denotaespín-arriba y espín-abajo respectivamente.
El Hamiltoniano Hσ se puede expresar como:

1

eB
m c,

σ
Hz = σ 1 g µB B ,
2

Hσ =

1
2a

1
p2 + p2 + b (xpy − ypx ) + 1 c x2 + y 2 − 2 dσ x2 − y 2
x
y
2

σ
+ eσ xy − fσ (xpy + ypx ) − gσ (xpx − ypy ) + Hz

(3)

Ahora si se denen los siguientes operadores:
L = (xpy − ypx ) ,

T=

1
2

p2 + p2 ,
x
y

W=

J = (xpy + ypx ),

V=

1
2

x2 + y 2 ,

B = (xpx − ypy ) .

1
2

x2 − y 2 ,

Entonces, es posible reescribir Hσ de la forma:
σ
Hσ = aT + bL + cV − dσ W + eσ xy − fσ J − gσ B + Hz .

(4)

El Hamiltoniano de la ecuación (4) presenta tres términos acoplados en momento y posición, L , J y xy
. Para lograr desacoplarlos, aplicaremos transformaciones unitarias tales que nos permitan hacerlo.Proponemos la tranformación unitaria:
σ
U1 = eiασ xy ,
σ†
σ
Hσ = U1 Hσ U1 ,
1

(5)

El Hamiltoniano Hσ se transforma como:
1

2
Hσ = aT + (aασ − fσ ) J + aασ
1

2

σ
+ c − 2ασ fσ V + bL + (2ασ b − dσ ) W + eσ xy − gσ B + Hz .

(6)

Si escogemos apropiadamente las constantes ασ (donde el subíndice σ = ± indica que existen dos α, para
esín arriba y espín abajocorrespondientemente) de la ecuación (6) , es posible eliminar el operdor acoplado
J. Sin embargo aun es necesario desacoplar los otros dos términos L y xy .
σ
Sea U2 la segunda transformación unitaria denida como:

σ
U2 = eiβσL ,
σ†
σ
Hσ = U2 Hσ U2 .
2
1
σ
Ahora, al aplicar U2 sobre Hσ resulta:
1

Hσ
2

=
+

σ
aT + [(aασ − fσ ) cos (2 βσ ) − gσ sen (2 βσ )] J + bL − [(aασ + fσ ) sen (2 βσ) + gσ cos (2 βσ )] B + Hz

aα2
σ

2

+ c − 2 ασ fσ V + [(2ασ b − dσ ) cos (2 βσ ) − eσ sen (2 βσ )] W + [(2ασ b − dσ ) sen (2 βσ ) + eσ cos (2 βσ )] xy.

2

(7)

Estas dos transformaciones unitarias nos permiten cancelar las expresiones acopladas J y xy del Hamiltoniano Hσ escogiendo apropiadamente las constantes ασ y βσ . Para esto, hacemos:
2
(aασ − fσ ) cos (2 βσ ) − gσ...