Trasformadas

lapa
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f (t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es

Cuando se habla de la transformadade Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Contenido[ocultar]1 Perspectiva histórica2 Propiedades 2.1 Linealidad2.2Derivación2.3 Integración2.4 Dualidad2.5 Desplazamiento de la frecuencia2.6 Desplazamiento temporal2.7 Desplazamiento potencia n-ésima2.8 Convolución2.9 Transformada de Laplace de una función con periodo p2.10 Condiciones de convergencia3 Tabla de las transformadas de Laplace más comunes4 Relación con otras transformadas5 Véase también6 Enlaces externos |
[editar] Perspectiva histórica
La transformada deLaplace recibe su nombre en honor del matemático francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:

— como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó ese tipode integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

— que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales.Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

— análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó susolución. Planteó alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones periódicas.
Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sidopresentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, elingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la forma:
(D − a)y = f(t)
— donde D es el operador diferencial, esto es, D = d / dx, entonces la solución general a dicha ecuación es de la forma:
.
Heaviside observóque si se trataba al operador D como una variable algebraica, era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En efecto, según la solución general, se cumple que:

Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la siguiente:
y'' − 3y' + 2y = et
— ésta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:
(D2 − 3D + 2)y = et...