Trasnformada de laplace

Transformada de Laplace

Definición: Sea f(t) una función definida en [0,+∞). Se define la transformada de Laplace de f(t) a la función F(s) o £{f(t)} definida por la integral:





Paraaquellos valores de para los que esté defina a los demás.
Nótese que la integral que aparece es una integral impropia, que esta definida por




Siempre que el límite exista.
Antes dediscutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta conveniente definir ciertos términos.

Se dice que una función f(t) es continua por segmentos o seccionalmente continua enun intervalo cerrado [a,b], si f(t) es continua en todo punto de [a,b], excepto en un numero finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto.
Se dice que f(t) es seccionalmentecontinua en [a,∞) si lo es en cada intervalo de la forma [0,N] con N>0.

Se dice que una función f(t) es de orden exponencial ∞ si existe contantes positivas T y M tales que |f(t)|≤Me ∞tCondiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
La transformada más conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral impropia es por medio del siguienteteorema de comparación, que es análogo a un teorema similar para series infinitas.

Criterio de comparación para integrales impropias:
si f es seccionalmente continua para t≥a, si |f(t)| ≤ g(t)cuando t>M, para alguna constante M>0 y si también converge.
Por otra parte , si f(t) ≥ g(t)≥0 para t≥M y si diverge, entonces también diverge.
Deacuerdo con esta teorema, la función f deberá satisfacer condiciones para que su transformada de Laplace F exista.
Si f(t) es continua por segmentos en [0,∞) y de orden exponencial ∞, entonces £{f}existe

Supongamos que f(t) no esta acotada cuando t 0. Ademas:f(t) es continua por segmento en cualquier intervalo N1 ≤t≤N con N1 >0, limt 0 tn f(t)=0
Para cualquier n con...