Trayectoria De Nyquist

Trayectoria de Nyquist
El criterio de Nyquist es un método semigráfico que determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado al investigar las propiedades de la traza en el dominio de la frecuencia, la traza de Nyquist, de la función de transferencia de G(s)H(s) o l(s). Específicamente, la traza de Nyquist de L(s) es una gráfica de L(jw) en coordenadas polares de Im[L(jw)] contra Re[L(jw)]cunado w varía desde 0 hasta ∞. Este es otro ejemplo de la utilización de las propiedades de la función de transferencia en lazo para encontrar el desempeño del sistema en lazo cerrado. El criterio de Nyquist tiene las siguientes características que lo hacen un método alternativo atractivo para el análisis y diseño de sistemas de control.
El criterio de Nyquist representa un método paradeterminar la localización de las raíces de la ecuación característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s. Aunque éste plano no da la localización exacta de las raíces de la ecuación característica.
Para mostrarlo considere que la función de transferencia es lazo cerrado
MS=G(s)1+GsH(s)
en donde G(s)H(s) puede tomar la siguiente forma:K1+T1s1+T2s…(1+Tns)sp1+Tas1+Tbs…(1+Tns)e-Tds
en donde las T´s son coeficientes reales o complejos y Td es un tiempo de retardo real.
Ya que la ecuación característica se obtiene al hacer que el polinomio denominador de M(s) sea cero, las raíces de la ecuación característica son también los ceros de 1+G(s)H(s).
O, las raíces de la ecuación característica deben satisfacer:
∆(s) = 1+G(s)H(s) = 0

En general, para un sistema con lazosmúltiples, el denominador de M(s) se puede escribir como:
∆(s) = 1+ L(s) = 0
en donde L(s) es la función de transferencia de lazo cerrado.
Antes de entrar a los detalles del criterio de Nyquist, es útil resumir las relaciones de polos y ceros de las funciones de transferencia de varios sistemas.
Identificacion de polos y ceros
* ceros de la función de transferencia en lazo: ceros de L(s)
*polos de la función de transferencia en lazo: polos de L(s)
* polos de la función de transferencia en lazo cerrado: ceros de 1+L(s) = raíces de la ecuación característica
* polos de 1+ L(s)= polos de L(s)
Condiciones de estabilidad. Se define dos tipos de estabilidad con respecto a la configuración del sistema.
1.- Estabilidad en lazo abierto. Un sistema sedice ser estable en lazo abierto si los polos de la función de transferencia de lazo L(s) están todos en el semiplano izquierdo del plano s. Para un sistema de un lazo sencillo, esto es equivalente a que el sistema sea estable cuando el lazo se abre en cualquier punto.
2.- Estabilidad en lazo cerrado. Un sistema se dice ser estable en lazo cerrado, o simplemente estable, si los polos de la funciónde transferencia en lazo cerrado o los ceros de 1+ L(s) están en el semiplano izquierdo del plano s. Las excepciones a las definiciones anteriores son los sistemas con polos o ceros intencionalmente localizados en s=0.
Encierro e inclusión
Ya que el criterio de Nyquist es un método gráfico, se necesitan establecer los conceptos de encierro e inclusión, los cuales son útiles para lainterpretación de las trazas de Nyquist para la estabilidad.
Encierro
Un punto o una región en un plano de una función compleja se dice encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la trayectoria.
Por ejemplo, el punto A en la Fig. 9-14 está rodeada por la trayectoria cerrada Г, ya que A está dentro de la trayectoria cerrada. El punto B no está rodeado por la trayectoria cerrada Г, ya que estáfuera de la trayectoria. Además, cuando la trayectoria cerrada Г tiene una dirección asignada a ella, el encierro, si se hace, puede hacerse en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario.

Inclusión
Un punto o región se dice incluido por una trayectoria cerrada si está encerrado en la dirección de las manecillas del reloj, o el punto o región está a la izquierda de la...