Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar

Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar
La cicloide se produce cuando se hace rodar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide

Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior deldisco, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura

x=vc·t+R·sen
y=R-R·cos
donde R es el radio del círculo y  el ángulo girado en el tiempo t, =·t.
Si el disco rueda sin deslizar, la relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación  alrededor de un eje que pasa por el c.m. es vc= ·R.
La ecuación dela cicloide expresada en términos del parámetro  , es
x=R( +sen )
y=R(1-cos )
 
La braquistrocrona
La cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por  los puntos A y B, pero el tiempo nodepende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.
Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia . Pero los hermanos Bernoulli a principios del siglo XVIII demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de cicloide. Desde ese momento la cicloide recibió el nombre de braquistrocrona (palabra griega derivada de tiempo ymínimo).
Las demostraciones de Bernoulli dieron origen algunos años más tarde a una nueva rama de las Matemáticas, el Cálculo Variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima.

Consideremos que un cuerpo desliza sin rozamiento bajando por untobogán que tiene la forma de la curva de la figura.
Aplicando el principio de conservación de la energía obtenemos la velocidad v del cuerpo cuando ha descendido una altura y

El tiempo que tarda la partícula en recorrer un arco infinitesimal ds en dicha posición es

Tenemos que buscar la forma del tobogán de manera que el tiempo total que emplea la partícula en desplazarse desde A hasta B seamínimo. Por tanto, es preciso hacer mínima la integral

Teniendo en cuenta que ds2=dx2+dy2, la integral se escribe en función de x e y y sus derivadas.

Empleando el procedimiento de Euler, y teniendo en cuenta que el integrando no es función de x, la solución es
,
Integrando respecto de y

Esta integral se resuelve haciendo la sustitución

con lo que se obtiene

que son de nuevo lasecuaciones paramétricas de una cicloide.
 
Movimiento Armónico Simple de un cuerpo que rueda sobre una cicloide.
En la página titulada rodando por un plano inclinado hemos estudiado el movimiento de un aro, un cilindro y una esfera que bajan rodando a lo largo de un plano inclinado.
Consideremos de nuevo una rueda (aro, cilindro o esfera) de masa m y de radio r y cuyo momento de inerciaIc=k·mr2 siendo k=1 para una rueda en forma de un aro, k=1/2 para un cilindro o disco, y k=2/5 para una esfera.
Las ecuaciones del movimiento de la rueda
Dibujamos las fuerzas sobre el cuerpo que rueda y formulamos las ecuaciones del movimiento

Movimiento de traslación del centro de masa
mg·sen -Fr=mac
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
Fr·r=Ic·Condición de movimiento de rodar sin deslizar
ac= ·r
Despejando en las tres ecuaciones la aceleración ac del c.m.

La ecuación del camino

Pongamos la rueda sobre un camino cualesquiera. Para que la rueda describa un MAS es necesario que la aceleración ac de su c.m. sea proporcional al desplazamiento s (arco) y de sentido contrario a éste. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de...