Trayectoria Helicoidal Sobre Una Superficie Cilindrica
Páginas: 2 (487 palabras)
Publicado: 17 de mayo de 2012
PUNTO MATERIAL DESCRIBIENDO UNA
TRAYECTORIA HELICOIDAL SOBRE UNA
SUPERFICIE CILINDRICA
Mecánica fundamental II
Ingeniería industrial
Curso 2009/2010
Palabras clave: Partícula; Superficie;Trayectoria; Reacciones; Energía; Potencial
Enunciado
Un punto material se encuentra en reposo, inicialmente, en el punto A de la hélice de la figura, de
ecuaciones:
x = R cos θ
y = R sen θ
z =Rθ
y se deja caer. Sabiendo que no hay rozamiento y que el peso del pinto es W, obtener:
1) Espacio recorrido por el móvil en función del tiempo.
2) Reacción de la curva cuando el pinto hadescendido R.
Fig. 1
La partícula describe una trayectoria helicoidal sobre una superficie cilíndrica.
i) Ecuación horaria
Apliquemos el teorema de la energía cinética (o el de la conservación de laenergía, ya que, aunque la
reacción de la curva no es conservativa, por ser normal a la trayectoria no realiza trabajo) a la
posición inicial (t=0) y a otra posición genérica (t).
Fig. 2
Lapartícula está sometida a la acción de la gravedad y de una fuerza normal (reacción de la curva)
[1]
[2]
∫⃗
⃗
∫
[3]
Sustituyendo en el teorema resulta:
√
√
[4]
Donde se tuvo encuenta la ecuación de la curva z = Rθ.
Por otra parte, las expresiones de la velocidad y de su modulo son:
⃗
̇̂
̇ ̂ | ⃗|
̇̂
̇
̇
̇
[5]
Obteniendo las derivadas ̇ ̇ ̇ , a partirde las ecuaciones paramétricas de la hélice, y sustituyendo
el valor de v, resulta:
√
]̇
[
√
̇
√
√
[6]
Que integrada da:
∫
√
√
∫
√
√
[7]
Con el valorde θ ya conocido,, obtenemos la función cinemática (v=f(t)), y a partir de ésta la función
horaria deseada (s=g(t)).
(
)
∫
√
√
∫
√
[8]
Donde se tuvo en cuenta para t=0, s=0.ii)
Reacción de la curva
Utilizamos la ecuación fundamental de la dinámica (2.a ley de Newton), descomponiéndola en sus
componentes cartesianas. Como necesitamos las componentes de la...
TRAYECTORIA HELICOIDAL SOBRE UNA
SUPERFICIE CILINDRICA
Mecánica fundamental II
Ingeniería industrial
Curso 2009/2010
Palabras clave: Partícula; Superficie;Trayectoria; Reacciones; Energía; Potencial
Enunciado
Un punto material se encuentra en reposo, inicialmente, en el punto A de la hélice de la figura, de
ecuaciones:
x = R cos θ
y = R sen θ
z =Rθ
y se deja caer. Sabiendo que no hay rozamiento y que el peso del pinto es W, obtener:
1) Espacio recorrido por el móvil en función del tiempo.
2) Reacción de la curva cuando el pinto hadescendido R.
Fig. 1
La partícula describe una trayectoria helicoidal sobre una superficie cilíndrica.
i) Ecuación horaria
Apliquemos el teorema de la energía cinética (o el de la conservación de laenergía, ya que, aunque la
reacción de la curva no es conservativa, por ser normal a la trayectoria no realiza trabajo) a la
posición inicial (t=0) y a otra posición genérica (t).
Fig. 2
Lapartícula está sometida a la acción de la gravedad y de una fuerza normal (reacción de la curva)
[1]
[2]
∫⃗
⃗
∫
[3]
Sustituyendo en el teorema resulta:
√
√
[4]
Donde se tuvo encuenta la ecuación de la curva z = Rθ.
Por otra parte, las expresiones de la velocidad y de su modulo son:
⃗
̇̂
̇ ̂ | ⃗|
̇̂
̇
̇
̇
[5]
Obteniendo las derivadas ̇ ̇ ̇ , a partirde las ecuaciones paramétricas de la hélice, y sustituyendo
el valor de v, resulta:
√
]̇
[
√
̇
√
√
[6]
Que integrada da:
∫
√
√
∫
√
√
[7]
Con el valorde θ ya conocido,, obtenemos la función cinemática (v=f(t)), y a partir de ésta la función
horaria deseada (s=g(t)).
(
)
∫
√
√
∫
√
[8]
Donde se tuvo en cuenta para t=0, s=0.ii)
Reacción de la curva
Utilizamos la ecuación fundamental de la dinámica (2.a ley de Newton), descomponiéndola en sus
componentes cartesianas. Como necesitamos las componentes de la...
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