Trayectorias ortogonales

ECUACIONES ORTOGONALES

Hemos visto antes (véase las ecuaciones en variables separadas por ejemplo) que las soluciones de una ecuación diferencial se pueden dar con una ecuación implícitadependiente de  un parámetro, o sea como

Esto es una ecuación que describe una familia de curvas. Siempre que fijemos el parámetro C conseguimos una curva y viceversa. Por ejemplo, considere las familias decurvas

donde tenemos los parámetros m y C. Claramente, podemos cambiar los nombres de las variables y todavía tener las mismas curvas geométricas. Por ejemplo, las familias antedichas definen elmismo objeto geométrico que

Observe que la primera familia describe todas las líneas que pasan por el origen (0.0) mientras que el segundo la familia describe todos los círculos centrados en elorigen (incluyendo el caso limite cuando el radio es 0, que reduce a un solo punto (0.0)) (véase los cuadros abajo).

 
 

Utilizaremos solamente las variables x e y . Cualquier familia de curvas serescrita como

Uno se puede preguntar el caso opuesto a cualquier familia de curvas se puede generar de una ecuación diferencial? En general, la respuesta es no. Veamos como proceder si la respuestaes si. Primero diferenciamos con respecto a x , y conseguimos una nueva ecuación que implica  x , y , ,  y C. Usando la ecuación original, podemos eliminar el parámetro C de la nueva ecuación.
 Ejemplo. Encuentre la ecuación diferencial satisfecha por la familia

Respuesta. Diferenciamos con respecto a x , para conseguir

Puesto que tenemos

entonces conseguimos sustituyendo

 El pasosiguiente es rescribir esta ecuación en la forma explicita, cuando sea posible,

Esta es la ecuacion diferencial deseada.
 
Ejemplo. Encuentre la ecuacion diferencial (en la forma explicita)satisfecha por la familia

Respuesta. Hemos encontrado ya la ecuacion diferencial en la forma implicita

Las manipulaciones algebraicas dan

 
Reconsideremos el ejemplo de las dos familias

Si...