TRAYECTORIAS ORTOGONALES





Índice
Introducción------------------------------------------------------------------------------------3
Ejemplo 1, curvas desconocidas-------------------------------------------------------------4
ejemplo 2, Hipérbolas Equiláteras----------------------------------------------------------7
ejemplo 3, circunferencia -------------------------------------------------------------------11aplicaciones------------------------------------------------------------------------------------15
opiniones personales-------------------------------------------------------------------------17
fuentes consultadas-------------------------------------------------------------------------18




















INTRODUCCIÓN
El presente trabajo es una breve investigación, demanera general, de la ortogonalidad que existe entre las rectas tangentes de alguna familia de curvas planas a las rectas tangentes de otra familia de curvas.
Para que se de esta situación, debe cumplirse una condición entre dichas rectas: que el ángulo de intersección entre ellas sea de 90°. Es obvio que esto no se da entre cualquier familia, hay todo un procedimiento y teoría de geometría,cálculo y ecuaciones diferenciales aplicada a su búsqueda.
¿Cómo encontrar la familia de curvas cuyas rectas tangentes son ortogonales a las rectas tangentes de nuestra primera familia?
Sabemos que la primera derivada de una función, geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a ella en un punto dado.
También sabemos que la recta normal a esa misma función se puede encontrar pormedio de la pendiente de su recta tangente, ya que el inverso negativo de la pendiente de esta, es la pendiente de la recta normal, y estas entre sí, son perpendiculares.
La familia de rectas normales representa las trayectorias ortogonales de la familia de curvas en cuestión.
Esto lo podemos expresar en términos de las primeras derivadas de las funciones como:


A las trayectoriasortogonales se les atribuyen infinidad de aplicaciones en las ciencias e ingeniería, ya que a estas tendrán una interpretación el campo de estudio que estén siendo aplicadas. Será explicado más adelante.




EJEMPLO 1
En este primer ejemplo, explicaremos con detalle lo que se hará en los otros dos ejemplos, ya que serán resueltos de manera análoga, pero tal vez cambie la manera de resolver laecuación diferencial. En ocasiones, denotaremos como m₂ a la pendiente de las rectas que nos permitirán encontrar la familia de curvas ortogonales.
Curva definida por la ecuación:


En la imagen, la constante “c” tomó los valores de 1, 4, 7 y 10.
1. Despejamos la constante “c” de la ecuación original para después sustituirla.
En esta ocasión, ya se encuentra despejada y, al ser unaconstante, su primera derivada es cero.
2. Obtenemos su primera derivada, que representará la pendiente a la recta tangente en un punto dado
Derivamos de forma implícita







3. Sustituimos “c” y simplificamos. Como ya se había mencionado, ,
Por lo tanto,
;

4.- Ahora, a resolver la ecuación. En este caso es una ecuación de variables separables.







Entonces, lastrayectorias ortogonales están dadas por la familia de curvas:


Si c=9

Gráficamente, ambas familias ortogonales:



Para demostrar que son ortogonales, veamos lo que ocurre con sus rectas tangentes.


Efectivamente, hemos encontrado las trayectorias ortogonales de la familia de curvas propuesta.
EJEMPLO 2
Curva definida por la ecuación:


En la imagen, la constante “c” tomó losvalores de 1, 5 y 9.
En este caso, son curvas conocidas: es una familia de hipérbolas. Procederemos con la búsqueda de sus trayectorias ortogonales de manera análoga al ejemplo 1.
Al multiplicar en ambos miembros por “x”, obtenemos a la constante “c”, despejada.

Derivando respecto de “x”, obtenemos la ecuación diferencial asociada a la familia de hipérbolas:



Ahora bien, con el...