Trazador cubico natural y sujeto

TRAZADOR CÚBICO
El ajuste de una curva polinomial a trozos a un conjunto de puntos dados tiene aplicaciones en los campos del diseño asistido por computador, de la fabricación asistida porcomputador y de los sistemas de generación de gráficas por computador. Lo que generalmente se desea es dibujar una curva que pase por una serie de puntos, cuyas coordenadas se conocen con precisión, y quesea suave. Tradicionalmente esto se hacía usando una cercha, una regla flexible o un conjunto de plantillas rígidas, con las que se podía dibujar a mano alzada una curva que parece suave a la mirada.Matemáticamente, es posible construir una función cúbica Sj(x) en cada intervalo [xj,xj+1] de manera que la curva definida a trozos y=S(x) que resulta, es dos veces derivable y la segunda derivadaes continua en el intervalo completo [x0,xn]. La continuidad se S´(x) significa que la curva de ecuación y=S(x) no tiene “picos” o “esquinas”; la continuidad de S”(x) significa que el radio decurvatura está definido en cada punto.
Definición.
Dada una función f definida en [a,b] y un conjunto de nodos a=x0<xl<...<xn=b un trazador cúbico ( o spline cúbico) S para f es una funciónque cumple con las siguientes condiciones:
I) S(xj)=f(xj)=yj para j=0,1,2,...,n ( indica que el trazador se ajusta a cada uno de los puntos) |
II) Sj(xj+1)= Sj+1(xj+1) para j=0,1,2,...,n-2(indica que el trazador es continuo) |
III) S´(xj+1) = S´j+1(xj+1) para j=0,1,2,...,n-2 (indica que la pendiente es continua) |
IV) S´´j(xj+1) = S´´j+1(xj+1) para j=0,1,2,...,n-2 (indica que lacurvatura es continua) |
V) Se satisface uno de los siguientes conjuntos de condiciones de frontera a) S'(x0)=S´´(xn)=0 ( el trazador se llama libre o natural ) |
b) S'(x0)=f´(x0) y S´´(xn)=f´(xn) ( eltrazador se llama sujeto) |
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¿Cómo hallar el trazador cúbico de una función f ?
Primero se supone que Sj(x), xj x xj+1 es de la forma :
Sj(x)= aj + bj(x-xj) + cj(x-xj)2 + dj(x-xj)3, para...