Trazas De Superficies En El Espacio
Páginas: 5 (1237 palabras)
Publicado: 6 de noviembre de 2012
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Cuádricas
Breve Repaso de Geometría en el Plano
Ecuación Lineal (todas las variables están elevadas a la 1ª) ⇒
y
Recta
Ecuación General de la Recta:
Ax + By + C = 0
y = f (x )
b
Ecuación Segmentaria de la Recta:
x y + =1 a b
a
x
Ecuaciones Cuadráticas (por lo menos una variable elevada al cuadrado) ⇒
Cónicas
Cónicas con centro en elorigen: x2 y 2 ± 2 ± 2 =1 a b
Los términos positivos ⇒ Elipse
y b
y
+
x
2
a2
+
y
2
b2
=1
a
x
r
Si además a = b = r
⇒
Circunferencia
r
x
x2 + y 2 = r 2
Un término positivo y otro negativo ⇒ Hipérbola
x2 a2
−
y2 b2
=1
El término negativo determina el eje imaginario. La curva NO corta al eje imaginario
No se pueden dardos signos negativos. No se estaría en el plano real. y
Cónicas sin centro:
y 2 = 2 px
⇒ Parábola
La parábola rodea al eje de la variable lineal.
x
1
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Cuádricas
Funciones de dos Variables
Una función de dos variables en geometría representa una superficie en el espacio de tres dimensiones (R3).
z = f (x, y )
z
⇒
Dominio formado por dosvariables independientes.
z0 x0 x
y0
y
z0 = posición de la imagen que corresponde al punto del dominio (x0 , y0)
Ecuación Lineal (todas las variables están elevadas a la 1ª) ⇒
z
Plano
Ecuación General del plano:
c
Ax + By + Cz + D = 0 x y z + + =1 a b c
a x
Ecuación Segmentaria del Plano:
b y
Ecuaciones Cuadráticas (por lo menos una variable elevada al cuadrado) ⇒Cuádricas
Superficies Cuádricas: Cuádricas con centro en el origen:
± x2 a2 ± y2 b2 ± z2 c2 =1
Variando los signos positivos y negativos se obtienen los distintos tipos de superficies. En este tipo de superficies existe una triple simetría, por lo tanto son simétricas respecto al punto de intersección entre las superficies. Entonces podemos decir que son simétricas respecto a un centro.
2 ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Los tres términos cuadráticos positivos: ELIPSOIDE
Cuádricas
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
Trazas de un elipsoide:
Traza con el plano “xy”, z = 0
x2 a2
+
y2 b2
=1
elipse
a
b
c Traza con el plano “xz”, y = 0
x2 a2
+
z2 c2
=1
a elipse
Traza con el plano “yz”, x = 0
y2 b2
+
z2 c2
c
=1
elipseb
Si una de las trazas es una circunferencia, se llama elipsoide de revolución. De acuerdo a los valores de los parámetros el elipsoide puede tomar distintas posiciones. 3
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Cuádricas
En el caso de que todos los parámetros sean iguales, es decir, a = b = c = r, se tiene una esfera.
x 2 + y 2 + z2 = r 2
Dos términos cuadráticos positivos y uno negativo:HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
−
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
El hiperboloide NO corta al eje de la variable que está en el término negativo.
4
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Trazas del hiperboloide de una hoja:
Cuádricas
Traza con el plano “xy”, z = 0
−
x2 a2
+
y2 b2
=1
-b b
hipérbola eje real en “y”, eje imaginario en “x”.
Traza con el plano “xz”, y= 0
c -c
−
x2 a2
+
z2 c2
=1
hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “x”.
Traza con el plano “yz”, x = 0
y2 b2
+
z2 c2
c
=1
elipse b
La elipse más pequeña, se llama elipse de garganta.
Si en vez de tener como traza una elipse se tiene una circunferencia, la superficie se llama Hiperboloide de una hoja de revolución.
Esta es una superficiereglada, es decir, que se la puede obtener mediante rectas.
5
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
De acuerdo a los valores de los parámetros el hiperboloide de una hoja puede tomar distintas posiciones.
Cuádricas
Un término cuadrático positivo y dos negativos: HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
−
x2 a2
−
y2 b2
+
z2 c2
=1
El hiperboloide NO corta al plano formado por los ejes de las...
Cuádricas
Breve Repaso de Geometría en el Plano
Ecuación Lineal (todas las variables están elevadas a la 1ª) ⇒
y
Recta
Ecuación General de la Recta:
Ax + By + C = 0
y = f (x )
b
Ecuación Segmentaria de la Recta:
x y + =1 a b
a
x
Ecuaciones Cuadráticas (por lo menos una variable elevada al cuadrado) ⇒
Cónicas
Cónicas con centro en elorigen: x2 y 2 ± 2 ± 2 =1 a b
Los términos positivos ⇒ Elipse
y b
y
+
x
2
a2
+
y
2
b2
=1
a
x
r
Si además a = b = r
⇒
Circunferencia
r
x
x2 + y 2 = r 2
Un término positivo y otro negativo ⇒ Hipérbola
x2 a2
−
y2 b2
=1
El término negativo determina el eje imaginario. La curva NO corta al eje imaginario
No se pueden dardos signos negativos. No se estaría en el plano real. y
Cónicas sin centro:
y 2 = 2 px
⇒ Parábola
La parábola rodea al eje de la variable lineal.
x
1
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Cuádricas
Funciones de dos Variables
Una función de dos variables en geometría representa una superficie en el espacio de tres dimensiones (R3).
z = f (x, y )
z
⇒
Dominio formado por dosvariables independientes.
z0 x0 x
y0
y
z0 = posición de la imagen que corresponde al punto del dominio (x0 , y0)
Ecuación Lineal (todas las variables están elevadas a la 1ª) ⇒
z
Plano
Ecuación General del plano:
c
Ax + By + Cz + D = 0 x y z + + =1 a b c
a x
Ecuación Segmentaria del Plano:
b y
Ecuaciones Cuadráticas (por lo menos una variable elevada al cuadrado) ⇒Cuádricas
Superficies Cuádricas: Cuádricas con centro en el origen:
± x2 a2 ± y2 b2 ± z2 c2 =1
Variando los signos positivos y negativos se obtienen los distintos tipos de superficies. En este tipo de superficies existe una triple simetría, por lo tanto son simétricas respecto al punto de intersección entre las superficies. Entonces podemos decir que son simétricas respecto a un centro.
2 ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Los tres términos cuadráticos positivos: ELIPSOIDE
Cuádricas
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
Trazas de un elipsoide:
Traza con el plano “xy”, z = 0
x2 a2
+
y2 b2
=1
elipse
a
b
c Traza con el plano “xz”, y = 0
x2 a2
+
z2 c2
=1
a elipse
Traza con el plano “yz”, x = 0
y2 b2
+
z2 c2
c
=1
elipseb
Si una de las trazas es una circunferencia, se llama elipsoide de revolución. De acuerdo a los valores de los parámetros el elipsoide puede tomar distintas posiciones. 3
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Cuádricas
En el caso de que todos los parámetros sean iguales, es decir, a = b = c = r, se tiene una esfera.
x 2 + y 2 + z2 = r 2
Dos términos cuadráticos positivos y uno negativo:HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
−
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
El hiperboloide NO corta al eje de la variable que está en el término negativo.
4
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Trazas del hiperboloide de una hoja:
Cuádricas
Traza con el plano “xy”, z = 0
−
x2 a2
+
y2 b2
=1
-b b
hipérbola eje real en “y”, eje imaginario en “x”.
Traza con el plano “xz”, y= 0
c -c
−
x2 a2
+
z2 c2
=1
hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “x”.
Traza con el plano “yz”, x = 0
y2 b2
+
z2 c2
c
=1
elipse b
La elipse más pequeña, se llama elipse de garganta.
Si en vez de tener como traza una elipse se tiene una circunferencia, la superficie se llama Hiperboloide de una hoja de revolución.
Esta es una superficiereglada, es decir, que se la puede obtener mediante rectas.
5
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
De acuerdo a los valores de los parámetros el hiperboloide de una hoja puede tomar distintas posiciones.
Cuádricas
Un término cuadrático positivo y dos negativos: HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
−
x2 a2
−
y2 b2
+
z2 c2
=1
El hiperboloide NO corta al plano formado por los ejes de las...
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