Trazo de curvas

Trazo de Curvas.

La gráfica de una función proporciona una información muy valiosa con respecto al comportamiento de la propia función. Una de las principales aplicaciones del cálculo radica en proporcionar un procedimiento para el trazo de curvas con una precisión razonable. Antes de trazar una curva considere los puntos siguientes:

Lista de Control de Información para trazar la gráficade una curva [pic]

A. Dominio. El primer paso consiste en determinar el dominio D de f, esto es, el conjunto de valores de x para los cuales [pic] está definida.

B. Intercepciones. La intercepción y es [pic] e indica el lugar en donde la curva intercepta al eje y. Para encontrar las intercepciones x, se hace [pic] y se resuelve para x, si es que se puede realizar fácilmente. A veces esdifícil y, no vale la pena encontrar las intercepciones x. Por ejemplo, para obtener x de [pic], habría que resolver la ecuación [pic], lo cual no es fácil y, por lo tanto no nos ocupamos de ello.

C. Simetría.

i) Si [pic] para toda x en D, esto es, si la ecuación de la curva no se altera cuando x se reemplaza por –x, entonces decimos que f es una función par y la curva es simétrica conrespecto al eje y. Esto significa que el trabajo se reduce a la mitad. Si sabemos cómo es la curva para [pic], entonces sólo se requiere efectuar una reflexión en torno al eje y para obtener la curva completa. Algunos ejemplos son: [pic], [pic], [pic], [pic], etc.

ii) Si [pic] para toda x en D, entonces decimos que f es una función impar y la curva es simétrica con respecto al origen. Denuevo podemos obtener la curva completa si sabemos cómo era [pic]. Algunos ejemplos sencillos de funciones impares son: [pic], [pic], [pic], [pic], etc

iii) Si [pic] para toda x en D, en donde p es una constante positiva, entonces decimos que f es una función periódica y el mínimo número positivo p que cumple la condición anterior se llama período. Por ejemplo, [pic] tiene período [pic] y[pic] tiene período [pic]. Si conocemos cómo es la gráfica en un intervalo de longitud p, entonces podemos utilizar la traslación para trazar la gráfica completa.

D. Asíntotas.

i) Asíntotas Horizontales. Recuerde que si:

[pic] o [pic]

entonces la recta [pic] es una asíntota horizontal de la curva [pic]. Si resulta que

[pic] entoncesno tenemos una asíntota hacia la derecha; sin embargo, es una
información útil para trazar la gráfica de la curva.

(ii) Asíntotas Verticales. Recuerde que la recta [pic] es una asíntota vertical si, por lo menos, uno de los siguientes enunciados es verdadero:

[pic] [pic] [pic] [pic]

(Para funciones racionales. Las asíntotas verticales se puedenlocalizar igualando el denominador a cero después de cancelar factores comunes, pero para otras funciones este método no se aplica). Además, para trazar la gráfica de la curva es muy útil saber exactamente cuál de los enunciados es verdadero. Si [pic] no está definida, pero a es un punto extremo del dominio de f, entonces se debe calcular [pic] o [pic], ya sea que este límite resulte o no serinfinito.

E. Intervalos en donde la función es Creciente o Decreciente. Aplicar el Criterio para Funciones Monótonas. Calcular [pic] y encontrar los intervalos en donde [pic] es positiva (f es creciente) y los intervalos en los que [pic] es negativa (f es decreciente).

F. Valores Máximos y Mínimos Locales. Encontrar los números críticos de f (los números c para los cuales [pic] o [pic] noexiste), luego aplicar el Criterio de la Primera Derivada. Si [pic] cambia de positiva a negativa en un número crítico c, entonces [pic] es un máximo local. Si [pic] cambia de negativa a positiva en un número crítico c, entonces [pic] es un mínimo local. Si bien normalmente es preferible emplear el Criterio de la Primera Derivada, podemos utilizar el Criterio de la Segunda Derivada: si c es un...