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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIA

CONTROL AUTOMATICO
Presentado por:

FRANCISCO ERNESTO MORENO GARCIA
Ingeniero Electrónico - UFPS Magíster en Ingeniería Mecánica - UFU Doctor Ingeniería Mecánica – UFU

femgarcia@ufps.edu.co Horario de atención: Martes 3 – 6 pm, Febrero de 2011

CAPÍTULO II
1. REVISION MATEMÁTICA Representación matemática de sistemasfísicos (modelamiento). Algunos ejemplos de dicha representación. Transformada de Laplace. Obtención de la Transformada de Laplace de algunas funciones. Teoremas de la Transformada de Laplace. Transformada Inversa de Laplace. Solución de Ecuaciones Diferenciales.

Representación matemática de sistemas físicos (modelamiento) modelamiento)
• Sistemas mecánicos • Circuitos eléctricos • Sistemaselectromecánicos • Sistemas térmicos • Sistemas hidráulicos • Dinámica de populaciones...

in

out

Representación matemática: • De salída/entrada – relaciona directamente la entrada con la salída Ecuación diferencial Función de Transferencia (para SLITs) • De estado – relaciona la entrada, la saída y variábles internas del sistema

Algunos ejemplos de dicha representación
Las EcuacionesDiferenciales que describen el desempeño de un sistema dinamico de un sistema físico son obtenidas utilizandose las Leyes físicas de los procesos. Sistema mecánico de 1er orden: • Representación de entrada - salida En el dominio do tempo Ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de 1er orden.

Fuerza externa aplicada

d 2 x(t) dv(t) ∑ fuerzas aplicadas = m dt 2 = m dt
f(t) - βv(t) = mdv(t) dt
EDOL

Donde la solución de la anterior EDOL dada: • Para Una entrada f(t) = F para t ≥ 0 La masa inicialmente en reposo, v(0)=0 • Como es la evolución temporal de la velocidad?

+Sistemas físicos de 2do orden:

La solución de aquellas EDOLs se ha realizado a través de Métodos Clásicos: 1. Factores de Integración para EDOL no exactas. 2. Método dos coeficientes a determinar. Peropara nuestro objetivo de control solucionaremos dichos sistemas a través de la Transformada de Laplace

Transformada de Laplace
El método substituye la solución mas difícil de ecuaciones diferenciales por la solución mas fácil de ecuaciones algebraicas. La solución de la respuesta en el dominio del Tiempo es obtenida: Obteniendo las ecuaciones diferenciales; Obtener la transformada de Laplacede las ecuaciones diferenciales; Resolviendo la transformada algebraicamente resultante para la variable de nuestro interés.

L
Donde:

{ f ( t )} = F ( s ) = ∫ f ( t )e
0

∞

Im
s

- st

dt

s s

Re

s = τ + jw

s

Si las funciones f(t), f1(t), f2(t) presentan su T.Laplace, a través de las propiedades:

L L

{ Af ( t )} = AL { f ( t )} { f ( t ) + f ( t )} = L { f ( t)} + L { f ( t )}
1 2 1 2

Linealidad Distributiva

Obtención de la Transformada de Laplace de algunas funciones
Función escalón:

L

{ f ( t )} = F ( s ) = ∫ Ae
0

∞

- st

dt = A∫ e- st dt
0

∞

 1 F ( s ) = A  − e− st  s 
Función rampa:

∞

0

 =  

 1  A  − e −∞ − e0   s 

(

0

)

1

F (s) =

A s

F (s) =

A s2

Funciónexponencial:

L

{ f ( t )} = F ( s ) = ∫ Ae α e
0

∞

- t - st

dt = A∫ e-(α + s )t dt
0

∞

α , s son constantes

u = −(α + s )t du = −(α + s )dt dt = du −(α + s )

du A u F ( s ) = A∫ e = ∫ e du −(α + s ) −(α + s ) 0 0
u

∞

∞

F (s) =

A eu −(α + s )

∞ 0

F (s) = −

A e∞ − e0 α +s

(

0

)

1

F (s) =

A α +s

Función senoidal:
w

L

{ f ( t )} = F( s ) = ∫ Asen(wt )e
0 ∞

∞

- st

dt

Aplicando el teorema de Euler:

Asen( wt ) =

A jwt − jwt e −e 2j

(

)

F (s) = ∫
0

A jwt − jwt - st e −e e dt 2j

(

)

∞ ∞  A  ( jw− s )t F (s) = dt − ∫ e−( jw+ s )t dt  ∫ e 2 j 0 0 

∞ ∞  A  −( s − jw)t F (s) = e dt − ∫ e−( s + jw)t dt   2 j ∫ 0 0 

F (s) =

A 1  A 1   −   2 j  s − jw  2 j  s +...