Triángulos Oblicuángulos


Triángulos Oblicuángulos.

En el tema anterior usamos las funciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos es decir, triángulos con ángulos de 90º. En este tema usaremos las funciones trigonométricas para resolver triángulos oblicuángulos, es decir, triángulos que no tienen ángulo de 90º. Para resolver tales triángulos desarrollaremos la ley de los senos y la ley de loscosenos.
Si ninguno de los ángulos de un triángulo es recto, el triángulo se llama oblicuángulo. Así, un triángulo oblicuángulo tendrá tres ángulos agudos o dos ángulos agudos y un ángulo obtuso (ángulo entre 90º y 180º). Ver figura.





En el análisis que sigue, presentaremos siempre un triángulo oblicuángulo de manera que el lado a sea el opuesto al ángulo A, el lado b sea el opuestoal ángulo B y que el lado c sea el opuesto al ángulo C .
Resolver un triángulo oblicuángulo significa encontrar las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos. Para hacer esto, necesitamos conocer la longitud de un lado junto con otras cantidades: ya sean dos ángulos o los otros dos lados, o bien un ángulo y otro lado, así hay cuatro posibilidades por considerar:

CASO 1:
se conocenun lado y dos ángulos (LAA o ALA).
CASO 2:
se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno d ellos (LLA).
CASO 3:
se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (LAL).
CASO 4:
se conocen tres lados (LLL).

Las figuras ilustra los cuatros casos.


Ley del Seno
La ley de los senos se usa para resolver los triángulos de los casos 1 y 2.
Teorema ley de los senos: Para un triángulo con ladosa, b y c y los ángulos opuestos A, B y C, respectivamente.
sen A
=
sen B
=
sen C
a

b

c
Nota: al aplicar la ley de los senos para resolver triángulos usamos el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º; es decir. A + B + C = 180º

El Caso Ambiguo. (Ley del Seno)
El caso 2 (LLA) que se aplica a triángulos cuyos dos lados y el ángulo opuesto auno de ellos se conocen, se llama caso ambiguo porque la información disponible puede dar lugar a un triángulo, a dos triángulos o a ningún triángulo.

A < 90º


a < b










a ≥ b


A ≥ 90º
a ≤ b

a > b

Ejercicios
1. A = 40º; B = 20º; a = 2
12. a = 2; c = 1; A = 120º
2. A = 50º ; C = 20º; a = 3
13. a = 4; b = 5; A = 60º
3. B = 70º; C = 10º; b = 514. b = 2; c = 3; B = 40º
4. A = 70º; B = 60º; c = 4
15. b = 4; c = 6; B = 20º
5. A = 110º; C = 30º; c = 3
16. a = 3; b =7; A = 70º
6. B = 10º; C = 100º; b = 2
17. a = 2; c = 1; C = 100º
7. A = 40º; B = 40º; c = 2
18. b = 4; c = 5; B = 95º
8. B= 20º; C = 70º; a =1
19. a = 2; c = 1; C = 25º
9. a = 3; b = 2; A = 50º
20. b = 4; c= 5; B = 40º
10. b = 4; c= 3; B = 40º
21. A = 37º 20'; B = 51º30'; c = 125
11. b = 5; c = 3 ; B = 100º

Problemas:
1) Un globo de aire caliente está volando sobre Groveburg. A la izquierda del globo, los viajeros miden el ángulo de depresión respecto a los campos de fútbol soccer de Groveburg 20º 15'. A la derecha del globo, los viajeros miden el ángulo de depresión con respecto al campo de fútbol americano de lapreparatoria en 62º 30'. La distancia entre los dos complejos deportivos es de 4 millas. ¿Cuál es la distancia del globo al campo de fútbol soccer y la distancia del globo al campo de fútbol americano?
2) Un teleférico que transporta pasajeros hacia arriba y abajo de una montaña. La pista usada por el teleférico tiene un ángulo de elevación de 30º. El ángulo de elevación hacia la parte alta dela pista desde un punto que está horizontalmente a 100 pies de la base de la pista es de 26.8º. Encuentra la longitud de la pista.
3) Para evitar una tormenta, un piloto inicia el vuelo 13º fuera del curso. Después de volar 80 millas en esta dirección, hace girar el avión para dirigirlo hacia su destino. El ángulo formado por el curso del avión durante la primera parte del vuelo y el curso...