Triang_s
Páginas: 6 (1279 palabras)
Publicado: 8 de noviembre de 2015
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS - SOLUCIONES
4
Una persona de 1,78 m de estatura proyecta una sombra de 66 cm, y en ese
momento un árbol da una sombra de 2,3 m.
a) ¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal?
b) ¿Cuál es la altura del árbol?
)
178
= 2, 69 →
66
^
a) tg B =
A'
A
→ B = 69° 39' 21,2"
^
x
1,78 m
^
b) B' = B, luego:
x
2,3
^
tg B' =
→
C'
)
→ x = 2,3 · tg B' = 6,203 m^
6
C
2,3 m B'
66 cm
B
El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 38o.
¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
x
8 cm
19°
sen 19° =
y
8
→ y = 8 · sen 19° = 2,6 cm
cos 38° =
x
8
→ x = 8 · cos 19° = 7,6 cm
y
38°
8
^
^
^
→ d = 5,2 cm
^
→ D = 15,2 cm
Resuelve los siguientes triángulos:
^
^
^
a) a = 100 m
B = 47o
C = 63o
b) a = 70 m
b = 55 m
C = 73o
c ) a = 100m
b = 185 m
c = 150 m
d) b = 6 m
c=8m
C = 57o
^
^
^
a) • A = 180° – ( B + C ) = 70°
•
a
b
=
sen A
sen B
^
→
•
C
a
→
^
b
B
100
b
=
sen 70°
sen 47°
→ b=
c
→
A
100 · sen 47°
= 77,83 m
sen 70°
100
c
=
sen 70°
sen 63°
→ c=
100 · sen 63°
= 94,82 m
sen 70°
b) • c 2 = 702 + 552 – 2 · 70 · 55 · cos 73° = 5 673,74 → c = 75,3 m
^
• 702 = 552 + 75,32 – 2 · 55 · 75,3 · cos A →
2
22
→ cos A = 55 + 75,3 – 70 = 0,4582 → A = 62° 43' 49,4"
2 · 55 · 75,3
^
^
^
^
^
• B = 180° – ( A + C ) = 44° 16' 10,6"
2
2
2
2
2
2
c ) • cos A = b + c – a = 185 + 150 – 100 = 0,84189 → A = 32° 39' 34,4"
2bc
2 · 185 · 150
^
2
2
2
2
2
2
• cos B = a + c – b = 100 + 150 – 185 = –0,0575 → B = 93° 17' 46,7"
2ac
2 · 100 · 150
^
^
^
^
• C = 180° – ( A + B ) = 54° 2' 38,9"
d) •
8
6
=
sen 57°sen B
^
→ sen B =
^
6 · sen 57°
= 0,6290 →
8
^
→
B1 = 38° 58' 35,7"
B2 = 141° 1' 24,3"
^
^
^
La solución B2 no es válida, pues C + B2 > 180°.
^
^
^
• A = 180° – ( B + C ) = 84° 1' 24,3"
•
^
^
→ a=
8 · sen A
= 9,5 m
sen 57°
Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del
suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15o y la estatua bajo un ángulo de
40o.Calcula la altura del pedestal.
tg 15° =
tg 55° =
x
y
→ y=
2,5 + x
y
x
tg 15°
→ y=
2,5 + x
tg 55°
16
8
a
=
sen 57°
sen A
→
x
2,5 + x
=
→
tg 15°
tg 55°
→ x tg 55° = 2,5 tg 15° + x tg 15° →
→ x=
23
2,5 m
2,5 · tg 15°
= 0,58 m (el pedestal)
tg 55° – tg 15°
40°
15°
x
En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m
y 8 m de cada uno de lospostes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo
qué ángulo se ve la portería desde ese punto?
A
(portería)
b=7m
c=5m
a=8m
B (balón)
Aplicando el teorema del coseno:
b 2 = a 2 + c 2 – 2ac · cos B →
^
2
2
2
2
2
2
→ cos B = a + c – b = 8 + 5 – 7 = 0,5 → B = 60
2ac
2·8·5
^
C
24
B
Calcula el área y las longitudes de los lados y de
la otra diagonal del paralelogramo de la figura.
50°
20°
Ac
Luego bastará resolver uno de ellos para calcular los lados:
^
D
B
• Los dos triángulos en que la diagonal divide
al paralelogramo son iguales.
^
C
18 m
a
20°
h
50°
C
18 m
A
^
B = 180° – ( A + C ) = 110°
a
18
18 · sen 50°
=
→ a=
= 14,7 m
sen 50°
sen 110°
sen 110°
c
18
18 · sen 20°
=
→ c=
= 6,6 m
sen 20°
sen 110°
sen 110°
— —
— —
BC = AD = a = 14,7 m
Así: AB = CD = c = 6,6 m
Hallala altura de la torre QR de pie inaccesible y
más bajo que el punto de observación, con los datos
de la figura.
Llamemos x e y a las medidas de la altura de las dos
partes en que queda dividida la torre según la figura
dada; y llamemos z a la distancia de P a la torre.
Q
tg 48° =
x
z 48°
y
20°
R
30°
P
50 m
P'
x
z
Q
48°
20°
R
→ x = z · tg 48°
x
tg 30° =
z + 50
→ x = (z + 50) tg 30°
30
30°
P
P'
50 m
→
→ z · tg 48° = (z + 50) tg 30° →
→ z · tg 48° = z · tg 30° + 50 · tg 30° → z =
50 tg 30°
= 54,13 m
tg 48° – tg 30°
Sustituyendo en x = z · tg 48° = 54,13 · tg 48° = 60,12 m = x
Para calcular y : tg 20° =
y
z
→ y = z · tg 20° = 54,13 · tg 20° = 19,7 m
—
Luego: QR = x + y = 79,82 m mide la altura de la torre.
32
La longitud del lado de un octógono regular...
4
Una persona de 1,78 m de estatura proyecta una sombra de 66 cm, y en ese
momento un árbol da una sombra de 2,3 m.
a) ¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal?
b) ¿Cuál es la altura del árbol?
)
178
= 2, 69 →
66
^
a) tg B =
A'
A
→ B = 69° 39' 21,2"
^
x
1,78 m
^
b) B' = B, luego:
x
2,3
^
tg B' =
→
C'
)
→ x = 2,3 · tg B' = 6,203 m^
6
C
2,3 m B'
66 cm
B
El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 38o.
¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
x
8 cm
19°
sen 19° =
y
8
→ y = 8 · sen 19° = 2,6 cm
cos 38° =
x
8
→ x = 8 · cos 19° = 7,6 cm
y
38°
8
^
^
^
→ d = 5,2 cm
^
→ D = 15,2 cm
Resuelve los siguientes triángulos:
^
^
^
a) a = 100 m
B = 47o
C = 63o
b) a = 70 m
b = 55 m
C = 73o
c ) a = 100m
b = 185 m
c = 150 m
d) b = 6 m
c=8m
C = 57o
^
^
^
a) • A = 180° – ( B + C ) = 70°
•
a
b
=
sen A
sen B
^
→
•
C
a
→
^
b
B
100
b
=
sen 70°
sen 47°
→ b=
c
→
A
100 · sen 47°
= 77,83 m
sen 70°
100
c
=
sen 70°
sen 63°
→ c=
100 · sen 63°
= 94,82 m
sen 70°
b) • c 2 = 702 + 552 – 2 · 70 · 55 · cos 73° = 5 673,74 → c = 75,3 m
^
• 702 = 552 + 75,32 – 2 · 55 · 75,3 · cos A →
2
22
→ cos A = 55 + 75,3 – 70 = 0,4582 → A = 62° 43' 49,4"
2 · 55 · 75,3
^
^
^
^
^
• B = 180° – ( A + C ) = 44° 16' 10,6"
2
2
2
2
2
2
c ) • cos A = b + c – a = 185 + 150 – 100 = 0,84189 → A = 32° 39' 34,4"
2bc
2 · 185 · 150
^
2
2
2
2
2
2
• cos B = a + c – b = 100 + 150 – 185 = –0,0575 → B = 93° 17' 46,7"
2ac
2 · 100 · 150
^
^
^
^
• C = 180° – ( A + B ) = 54° 2' 38,9"
d) •
8
6
=
sen 57°sen B
^
→ sen B =
^
6 · sen 57°
= 0,6290 →
8
^
→
B1 = 38° 58' 35,7"
B2 = 141° 1' 24,3"
^
^
^
La solución B2 no es válida, pues C + B2 > 180°.
^
^
^
• A = 180° – ( B + C ) = 84° 1' 24,3"
•
^
^
→ a=
8 · sen A
= 9,5 m
sen 57°
Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del
suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15o y la estatua bajo un ángulo de
40o.Calcula la altura del pedestal.
tg 15° =
tg 55° =
x
y
→ y=
2,5 + x
y
x
tg 15°
→ y=
2,5 + x
tg 55°
16
8
a
=
sen 57°
sen A
→
x
2,5 + x
=
→
tg 15°
tg 55°
→ x tg 55° = 2,5 tg 15° + x tg 15° →
→ x=
23
2,5 m
2,5 · tg 15°
= 0,58 m (el pedestal)
tg 55° – tg 15°
40°
15°
x
En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m
y 8 m de cada uno de lospostes de la portería, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo
qué ángulo se ve la portería desde ese punto?
A
(portería)
b=7m
c=5m
a=8m
B (balón)
Aplicando el teorema del coseno:
b 2 = a 2 + c 2 – 2ac · cos B →
^
2
2
2
2
2
2
→ cos B = a + c – b = 8 + 5 – 7 = 0,5 → B = 60
2ac
2·8·5
^
C
24
B
Calcula el área y las longitudes de los lados y de
la otra diagonal del paralelogramo de la figura.
50°
20°
Ac
Luego bastará resolver uno de ellos para calcular los lados:
^
D
B
• Los dos triángulos en que la diagonal divide
al paralelogramo son iguales.
^
C
18 m
a
20°
h
50°
C
18 m
A
^
B = 180° – ( A + C ) = 110°
a
18
18 · sen 50°
=
→ a=
= 14,7 m
sen 50°
sen 110°
sen 110°
c
18
18 · sen 20°
=
→ c=
= 6,6 m
sen 20°
sen 110°
sen 110°
— —
— —
BC = AD = a = 14,7 m
Así: AB = CD = c = 6,6 m
Hallala altura de la torre QR de pie inaccesible y
más bajo que el punto de observación, con los datos
de la figura.
Llamemos x e y a las medidas de la altura de las dos
partes en que queda dividida la torre según la figura
dada; y llamemos z a la distancia de P a la torre.
Q
tg 48° =
x
z 48°
y
20°
R
30°
P
50 m
P'
x
z
Q
48°
20°
R
→ x = z · tg 48°
x
tg 30° =
z + 50
→ x = (z + 50) tg 30°
30
30°
P
P'
50 m
→
→ z · tg 48° = (z + 50) tg 30° →
→ z · tg 48° = z · tg 30° + 50 · tg 30° → z =
50 tg 30°
= 54,13 m
tg 48° – tg 30°
Sustituyendo en x = z · tg 48° = 54,13 · tg 48° = 60,12 m = x
Para calcular y : tg 20° =
y
z
→ y = z · tg 20° = 54,13 · tg 20° = 19,7 m
—
Luego: QR = x + y = 79,82 m mide la altura de la torre.
32
La longitud del lado de un octógono regular...
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