trianguko

hoEn efecto, sea AB el segmento que sea, determinado por los puntos A y B. Sea M el punto medio del segmento y r la recta perpendicular al segmento por dicho punto. Sea P un punto sobre la recta r.En la simetría axial respecto de la recta r, el punto P es invariante y los puntos A y B son uno el simétrico del otro. Por tanto, en esta simetría, el segmento AP se transforma en el segmento BP,ambos segmentos son congruentes y el punto P equidista de los puntos A y B. En consecuencia, todo punto que se encuentre sobre la recta r pertenece a la mediatriz del segmento en cuestión.Recíprocamente, sea AB un segmento y sea P un punto que equidista de A y de B, esto es que los segmentos AP y BP son iguales. Consideremos la bisectriz R del ángulo APB y sea M la intersección de dicha bisectrizcon el segmento AB.

Por construcción, los ángulos APM y BPM son iguales y en la simetría axial respecto de la recta r se transforman uno en el otro. Como los segmentos PA y PB son iguales, en estasimetría, los puntos A y B son uno la imagen del otro. Concluimos que el punto M es punto medio del segmento AB y que dicho segmento es perpendicular a la recta r.

Construcción gráfica de lamediatriz[editar]
Para trazar la mediatriz de un segmento dado AB, se trazarán dos arcos de igual radio arbitrario (siempre mayores que la mitad de la longitud del segmento) con centros en los extremos delsegmento. Los dos arcos se cortarán en dos puntos C y D que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.


Construcción gráfica de lamediatriz con regla y compás.
Aplicaciones en geometría[editar]

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
Las mediatrices de un polígono cíclico son las mediatrices de suslados, es decir, las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios. Éstas se cortan en un punto que se denomina circuncentro, el cual es el centro de la circunferencia que pasa por los...