TRIANGULO DE PASCAL

Triángulo de Pascal


Triángulo de Pascal para n=10.
En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traite du triangule arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas conanterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.
Regla de Pascal
La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de Pascal):
Si
Entonces
Para todo entero positivo n y todo enteropositivo k entre 0 y n.
Las cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo binomial:



Historia


Triángulo aritmético chino.
La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año200 a.C.[3]
Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029)[4] y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados, incluyendo el teorema del binomio.
En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por elmatemático chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.[5] [6] [7] [8]
Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales Rechnung[9] (1527). Este es el primer registro del triángulo en Europa. En Italia,se le conoce como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77). También fue estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567)[10] y François Viète (1540-1603).
En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolverproblemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio. Fue bautizadoTriángulo de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo llamó: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del latín: "Triángulo aritmético de Pascal"), que se convirtió en el nombre occidental moderno.[11]
Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
La expresión que proporciona laspotencias de una suma se denomina Binomio de Newton.
(1)
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.
Se puede generalizar este resultado para cualquier valor de n ∈ N por inducción matemática.
Coeficientes del binomio de Newton

Se inscribeel triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la línea n y la columna p se denota:

O más raramente

( Por "combinación") y se dice "n sobre p", "'combinación de n en p"' o "coeficiente binomial n, p". Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Por definición misma, tenemos, (para toda n natural):

para cualquier valor de a y b....