Triangulos 1

ESTALMAT-Andaluc´ıa
´
TRIANGULOS
Pascual Jara y Ceferino Ruiz
Granada

1.

Definici´
on de tri´angulo

Comenzamos la Geometr´ıa viendo como organizar figuras en el plano.
Los ejemplos m´as sencillos de figuras a estudiar son los pol´ıgonos y, dentro de ellos, los tri´angulos.
Para aclararnos vamos a ver qu´e vamos a entender por un tri´angulo:
Un tri´angulo es la regi´on (cerrada) del planodelimitada por tres segmentos que se cortan dos a
dos en sus extremos.
¿Qu´e elementos son de destacar en un tri´angulo?
(1) Los v´ertices. Son los puntos de intersecci´on de los segmentos.
(2) Los lados. Son los segmentos que delimitan el tri´angulo. Cada lado tiene una longitud que
se mide en la unidad de longitud que estemos usando (mil´ımetros, cent´ımetros, metros,
etc.) La suma de las longitudesde los tres lados de un tri´angulo se llama per´ımetro.
(3) Los a´ ngulos. Est´an determinados por los lados del tri´angulo. Los a´ ngulos se miden en grados o en radianes. As´ı tenemos que 180 grados (180o ) corresponden a π radianes. En lo que
sigue los a´ ngulos var´ıan entre 0o y 360o y un a´ ngulo de 360o ser´a equivalente a un a´ ngulo de
0o .
sA

c
B s

b

a
(Tri´angulo 1)
1

sC

∆ABC esla representaci´on para el tri´angulo de la figura.
A, B, C es la representaci´on para los v´ertices del tri´angulo.
a = BC, b = CA, c = AB es la representaci´on para los lados del tri´angulo. Su longitud se
representa por BC, CA, AB o´ a, b, c respectivamente.
Los a´ ngulos del tri´angulo se representan por BAC, CBA, ACB o´ A, B, C respectivamente.
´
Existen otros elementos que ser´an utiles
parael estudio de los tri´angulos.

(4) Base. Es uno cualquiera de los lados del tri´angulo. Fijada una base, la altura es el segmento
perpendicular a la recta que contiene a la base y que la une con el v´ertice opuesto.
a) En la Figura “‘Tri´angulo IIb”se comprueba que el pie de la altura de un tri´angulo puede no estar en la base del tri´angulo.
b) Como cada tri´angulo tiene tres posibles bases,tambi´en tiene tres posibles alturas.
´
´
5. Area.
Es el numero
de unidades de superficie que tiene el tri´angulo. Se calcula como la
mitad del producto de la longitud de la base por la longitud de la altura. Representamos
por A(ABC) el a´ rea del tri´angulo ∆ABC.

(Tri´angulo IIa)

(Tri´angulo IIb)

2

2.

Igualdad de tri´angulos

Diremos que dos tri´angulos son iguales si tienen iguales sus treslados y sus tres a´ ngulos.
Aunque hemos incluido la igualdad de los a´ ngulos, esta propiedad se deduce de la igualdad de
los lados como afirma el tercer criterio de igualdad de tri´angulos que se cita a continuaci´on.
De hecho, para ver que dos tri´angulos son iguales tenemos los siguientes
Criterios de igualdad de tri´angulos
(a) Tienen iguales un lado y los dos a´ ngulos adyacentes. Es claroque fijado el lado AB y los
´ el “Tri´angulo IIIa”, la intersecci´on de estas
a´ ngulos A y B, trazando las rectas b y a, segun
´
dos rectas define un punto C y los puntos A, B y C definen un unico
tri´angulo.
(b) Tienen iguales dos lados y el a´ ngulo que forman. Si nos fijamos en el “Tri´angulo IIIb”, existe
´
´
un unico
segmento a = BC que cierra la figura y por tanto existe un unico
tri´angulocon
lados b, c conociendo el a´ ngulo que forman.
(c) Tienen iguales sus tres lados. Consideramos un lado, por ejemplo el lado AB en el “Tri´angulo IIIc”. Trazamos la circunferencia que con centro en A tiene de radio la longitud de otro
de los lados, y otra circunferencia que con centro en B tenga de radio la longitud del tercer
lado. Los puntos de intersecci´on de estas dos circunferencias definendos puntos C y C
que junto con A y B definen dos tri´angulos ∆ABC y ∆AC B.

(Tri´angulo IIIa)

(Tri´angulo IIIb)

3

(Tri´angulo IIIc)

Conviene destacar que los dos tri´angulos que se han construido en el “Tri´angulo IIIc” resuelven el problema, pero pueden considerarse el mismo ya que se obtiene uno del otro haciendo
una simetr´ıa con respecto a la recta que contiene el segmento AB (tienen...