Triangulos, poligonos y poligonales

TEOREMAS REFERIDOS A TRIÁNGULOS Y POLIGONALES.

Teorema 2.1. En un triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

Este teorema pudo haberse enunciado también diciendo que los ángulos de la base de un |triángulo isósceles son iguales entre sí.
Corolario. Los ángulos de un triángulo equilátero son todos iguales entre si.
Luego un triángulo equilátero es equiángulo.
Teorema 2.2. Enun triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cada uno de los ángulos interiores no adyacentes
Se tiene que ΔCAA’ ( ΔBA’A’’ por el postulado C.5, por tener dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales (ángulos opuestos por el vértice en A’). Luego
(CBA’’ = (ACB, pero (CBA’’es una parte del ( CBD y por lo tanto
(CBD ( ( ACB.
Uniendo ahora el punto C con el punto medio C’ dellado AB y prolongando en C’C’’=CC’ y uniendo C’’ con B, resultan ahora los triángulos congruentes ΔACC’ y ΔBC’C’’ de donde (ABC’’ ( (CAB. Pero (CAB es solo una parte del (ABE y por lo tanto (ABE > (CAB cqd.
Corolario. En todo triángulo, la suma de dos ángulos interiores es menor que dos rectos.
En efecto, por el teorema anterior, sabemos que (CAB < (CBD = 180° - (ABC, luego
(CAB + (ABC =180° = 2R.
Teorema 2.3. En un triángulo a dos lados desiguales se oponen ángulos desiguales, al mayor lado se opone el ángulo mayor.

Teorema 2.4. En un triángulo, a ángulos iguales se oponen lados iguales.
H) En ΔABC, α = β
T) AC = BC
D) Supongamos por el contrario que AC ≠ BC, entonces puede ocurrir que BC > AC o
BC < AC. Si BC > AC entones α > β y si BC < AC entonces α < β y lasdos consecuencias son contradictorias con la hipótesis, luego AC = BC cqd.
Corolario. Si en un triángulo, los tres ángulos son iguales entonces es equilátero.
Teorema 2.5. En un triángulo a dos ángulos desiguales se oponen lados desiguales, al mayor ángulo se opone el mayor lado.
H) En ΔABC, α > β
T) BC > AC
D) Supongamos que BC no es mayor que AC. Entonces pueden presentarse doscasos:
BC = AC y por lo tanto α = β o BC < AC de donde α < β. Como las dos consecuencias contradicen la hipótesis, se tiene que BC > AC. cqd.
Corolario 1. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cada cateto.
Corolario 2. En un triángulo obtusángulo al mayor lado se opone el ángulo obtuso.
Teorema 2.6. En todo triángulo, la suma de dos lados es mayor que el tercero.Corolario. En todo triángulo, un lado cualquiera es mayor que la diferencia de los otros dos.
Teorema 2.7. Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido desigual, entonces a mayor ángulo se opone mayor lado.

H) ΔABC y ΔA’B’C’ tales que AC = A’C’, BC = B’C’ y (C > (C’
T) AB > A’B’
D) Como (C > (C’, tracemos en el interior del ángulo (C la semi recta queforma con el lado AC el ángulo (ACC’ = (A’C’B’ y llevemos sobre ella el segmento CC’’ = C’B’. Se obtiene así otro triángulo ΔACC’’ ( ΔA’B’C’. Por otro lado, sea CD la bisectriz del ángulo (C’’CB, la cual por ser interior al ángulo (ACB, corta al lado opuesto, determinando dos segmentos AD y DB tales que AB = AD + DB. Pero DB = DC’’ porque ΔDBC ( ΔDC’’C, por tener dos lados y el ángulo comprendidorespectivamente iguales. Luego, sustituyendo, resulta AB = AD + DC’’ > AC’’= A’B’, o sea AB > A’B’, cqd.
Teorema 2.8. El segmento que une dos puntos cualesquiera es menor que cualquier poligonal que se trace entre ellos.
Corolario. Toda línea curva entre dos puntos, es mayor que el segmento que los une.
El segmento es el más corto entre dos puntos.
Teorema 2.9. Toda línea poligonal convexa esmenor que cualquiera otra línea envolvente que tiene los mismos extremos.
Sumando ordenadamente resulta que AB + BC + CD < AE + EG + GF + FH + HD =
= AE + EF + FD, cqd.

LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS.
Sabemos que dos figuras son congruentes si tienen sus lados y sus ángulos respectivamente iguales. En el caso de los triángulos deben ser iguales sus tres lados y sus tres ángulos. Veremos...