Triangulos

A. Más sobre triángulos.

1.- En la figura adjunta los dos triángulos
dados son congruentes. Determinar los
valores de x, y, m(D), m(E) y EF

2.- Cuando existían las torres gemelas del World Trade Center, cierto día se midió la longitud de la sombra de una de ellas, resultando de 844 m. Si en el mismo instante una persona de altura 1,80 m proyectaba una sombra de 3,70m, ¿cuál era laaltura de la torre?.

3.- En cada una de las siguientes figuras calcule los valores de las incógnitas señaladas, citando en qué resultados teóricos se basa para la realización de los mismos.
a) Los triángulos son congruentes


b) Los triángulos son congruentes



c)

d)



4.- La imagen al microscopio de un “chip” es un rectángulo de 3,5 cm por 4,9 cm. Si la longitud real de ladiagonal del chip es 0,7 mm ¿cuánto miden en la realidad los lados del chip?.

Observación importante:
El estudio de congruencia y semejanza de triángulos se ha hecho en detalle por dos razones: (1) ellos son los polígonos más simples (tienen menor número de lados), (2) el estudio de congruencia y semejanza de polígonos de mayor número de lados (cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, … etc) sehace por “descomposición” de ellos, mediante el trazado de diagonales, en triángulos. Un par de ejemplos de esta afirmación lo constituyen los dos ejercicio resueltos, al final de esta guía.
Para el estudio de los conceptos, relaciones y procedimiento sobre polígono, se sugiere al lector consultar el libro: [1] Miller, Ch., Heeren, V., Hornsby, J. (2006). Matemática: razonamiento yaplicaciones. Pearson. México. Secciones 3.5 a 3.7 y 4.4, págs. 90 a 105 y 122 a 130.

5.- Para cada uno de los siguientes teoremas: (i) haga un dibujo e introduzca en él notaciones convencionales apropiadas, (ii) escriba la hipótesis del teorema, (iii) escriba la tesis del teorema, (iv) escriba la demostración del teorema.
Teoremas 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24 y 3.25 páginas 94 a 98[1]

B. Fórmula de la distancia. Ecuación de la circunferencia

1.- Sean A y B extremos de un segmento del cual se conocen sus coordenadas y sea P un punto del segmento que determinan A y B, tal que la razón de distancias AP/PB es un número conocido s.
a) Suponiendo que los tres puntos están en un mismo eje coordenado, encuentre una expresión para la coordenada de P en términos de lascoordenadas de A y de B y de la razón s.
b) Suponiendo que los tres puntos están en el plano, encuentre una expresión para las coordenadas de P en términos de las coordenadas de A y de B y de la razón s.
c) Aplique los resultados obtenidos a los siguientes casos particulares: (i) P es el punto medio del segmento que une A con B. (ii) P está en la tercera del “camino” que hay de A a B.

2.-Calcular:
a) El perímetro del triángulo de vértices A(0,1), B(2, 0), C(3, 3 )
b) El perímetro del cuadrilátero de vértices A(0, 0), B(-1, 3), C(3,-1) D(4,5)

3.- En cada uno de los siguientes casos hallar las coordenadas de los tres puntos que dividen el segmento de extremos P y Q en cuatro partes iguales
a) P (7,3), Q(-2,7) b) P(-2, -5), Q(-11, -8) c) P(a, b), Q(c, d)

4.- Si elpunto medio de es M(-3, 2) y A tiene coordenadas (6,-2), hallar las coordenadas de B.

5.- El punto medio de es M(3, -2). La abscisa de A es 8 y la ordenada de B es 7. Hallar las coordenadas de A y B.

6.- En cada uno de los siguientes casos hallar los dos puntos R y S que dividen el segmento de extremos P y Q en tres partes iguales
a) P (8, 1), Q (-1,5) b) P (5, 0), Q (-2,-2) c) P (a, b), Q (c, d)

7.- Verifique, para cada caso, si el triángulo con vértices A, B, C es o no isósceles
a) A (1,-2), B (-4, 2), C (1, 6) b) A (-2, 3), B (3, 4), C (-1,-5)

8.- Verifique, para cada caso, si el triángulo con vértices A, B, C es o no rectángulo
a) A (0, 0), B (6, 0), C (0, 8) b) A (3, 2), B (1,1), C (-1, 5)

9.- Verifique si el cuadrilátero con...