Triangulos

La Resolución de Triángulos Oblicuángulos usando la Calculadora Científica
(Con un Apéndice sobre el cálculo del argumento de un número complejo)
Adolfo Aguirre - Carlos Arroyo Como es sabido, antes de la aparición de las calculadoras científicas, la resolución de triángulos oblicuángulos se hacía mediante las tablas de logaritmos (de números y de funciones trigonométricas). Como los logaritmossólo son aplicables a fórmulas que contienen productos, cocientes , potencias y raíces y no sumas y restas, se podía utilizar el teorema del seno pero no el del coseno. Recordemos los datos de los cuatro casos de resolución de triángulos en su orden tradicional, que es el correspondiente a los criterios de congruencia de triángulos: 1º ) Dos lados y el ángulo comprendido. 2º ) Un lado y dosángulos igualmente dispuestos. 3º ) Los tres lados. 4º ) Dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos, al que se agregaba el llamado “caso dudoso” : dos lados y el ángulo opuesto al menor de ellos. Como se sabe, el 2º y el 4º caso (incluida la discusión del caso dudoso) se resuelven usando el teorema del seno y la relación A + B +C = 180º, por lo que el tratamiento clásico se conserva. No nosreferiremos a ellos. En cambio los casos 1º y 3º exigen el teorema del coseno y entonces se recurría antiguamente a complicadas “fórmulas logarítmicas”: el teorema de las tangentes, las fórmulas de los ángulos medios y la fórmula de Herón. Todas estas complicaciones hoy son innecesarias, gracias a la maravillosa aparición de la calculadora científica.. Hoy se puede resolver estos dos casos usando sólolos teoremas del seno y del coseno, más la fórmula de la suma de los ángulos. Cuando estos teoremas se usan para calcular lados no hay problemas, pero cuando se emplean para hallar ángulos pueden aparecer dificultades.

y

α r

180º- β1 β1
+1

r

x

-1

32

Recordemos que dado un número real r comprendido entre –1 y +1, entre 0º y 180º, hay uno y sólo un ángulo α tal que cos α = r( que es el dado por la calculadora), pero en cambio si r ≥ 0 existen dos valores β tales que sen β = r (salvo cuando r = 1, en cuyo caso sólo existe el valor β = 90º). Estos dos valores de β son suplementarios, si uno es β1, el otro es 180º - β1. La calculadora solamente da el valor agudo y no el obtuso. Las dos figuras que ilustran cada caso aparecen en pág. 33. Se concluye de esto que en estoscasos 1º y 3º, cuando ya se tienen los tres lados (en el primer caso, el primer paso obligatorio es calcular el tercer lado con el teorema del coseno), lo más seguro para calcular los ángulos es utilizar el teorema del coseno, ya que el valor que dará la calculadora será el correcto. Es decir, se calcula el ángulo A mediante cos A =

b2 + c 2 − a 2 .(Nota 1: En el tercer caso se suele decir quehay que 2bc

verificar la condición de que el mayor de los lados sea menor que la suma de los otros dos, pero si no se hace esta comprobación, la incompatibilidad de los datos aparecerá al calcular cualquier ángulo, ya que el valor del segundo miembro estará fuera del intervalo (-1,+1) y la máquina dará error o bien 0º o 180º (dejamos la justificación de este hecho para el lector). Nota 2: Lamáquina puede dar error en el caso de ángulos muy cercanos a 0º, 90º 0 180º por redondeos; convendrá en tal caso rehacer los cálculos con mayor precisión.) Por razones de una sana pedagogía que aconseja utilizar en cada situación todos los conocimientos provistos al alumno, es comprensible que no se quiera excluir al teorema del seno en estos casos 1º y 3º; además en el 1º caso, todos los textosindican que se calcule uno de los ángulos desconocidos con el teorema del seno, y en el 3º caso también sería aconsejable usar ambos teoremas. Se plantea entonces la siguiente cuestión: ¿Qué ángulo conviene calcular, digamos B o C (o sea suponemos dados o ya calculados a, b, c y A), para tener la seguridad de que el valor de la calculadora (el ángulo agudo) es el correcto? El propósito central de...