Triangulos

PREUJOVEN

Matemática

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Triángulos
Al término de esta lección podrás:
Desarrollar y conocer más a fondo teoremas relevantes de geometría. Resolver ejercicios relativos a los teoremas de Euclides y Pitágoras.

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Juegos y aplicaciones: http://www.youtube.com/watch?v=yDR5FDcMO5o http://www.youtube.com/watch?v=pzUUgvTl2qc http://www.youtube.com/watch?v=8EU7Bkl9mn8&feature=relatedIntroducción.
El avance de las ciencias matemáticas se ha debido a grandes sabios como Pitágoras. Su conocido teorema ha sido demostrado de muchas maneras diferentes. Sin embargo, es curioso que el propio Pitágoras solamente planteó la relación que se da entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo; así, se habla de números pitagóricos como 3, 4 y 5. Con el Teorema de Euclides (s.III – II a. de C.) referido a un cateto de un triángulo rectángulo, se logra una de las tantas demostraciones. El propio Euclides lo demostró a través de la equivalencia (igualdad de áreas) entre triángulos y rectángulos, basándose en las propiedades de tales figuras geométricas. Las aplicaciones del Teorema de Pitágoras en la Geometría misma y en otras disciplinas son múltiples, ya que eltriángulo rectángulo es una figura considerada básica en la formación de muchas otras. La generalización del Teorema de Pitágoras, que hace posible su aplicación en triángulos, no necesariamente rectángulos, le da aún más posibilidades a esta relación matemática conocida desde hace más de veinticinco siglos. Así, es posible saber la altura de un triángulo cualquiera, conocidos sus tres lados, y reconocercon los mismos datos si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

1. Proyección de Segmentos.
La idea intuitiva de proyección la captamos al observar el transcurrir de la vida diaria. Así, es común referirnos a “la sombra que proyecta un objeto sobre una pared” por efecto de una fuente luminosa.

1.1 Proyección de segmentos en una recta.
La proyección de un punto A sobre la rectaL es el punto A’ determinado por la perpendicular trazada desde el punto A a la recta L.

Lección 13

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En símbolos se escribe:

Pr oy A A ' y se lee: proyección de A sobre L es igual a A’.
L

A

.A'

L

La recta que contiene a AA ' recibe el nombre de proyectante. Normalmente, la proyección se hace con una proyectante perpendicular a la recta L(proyección ortogonal); sin embargo, se puede proyectar formando un cierto ángulo que no se de 90º. Tal es la situación que se presenta en la proyección de un objeto cualquiera mediante los rayos solares, dando origen a la sombra del objeto. Suponemos que los rayos son paralelos. El ángulo es variable según la hora y la fecha. Ejemplo: 1) Proyección de un punto a 60º.

B

Pr oy B B '
L

. 60º B'L

Atención

Las proyecciones no ortogonales se llaman oblicuas y para definirlas se debe indicar el ángulo de proyección. Ortogonal significa “que forma ángulo recto”.

Atención

En adelante nos referiremos a proyecciones ortogonales, salvo que se especifique algo diferente.

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Al proyectar un punto sobre una recta se dan dos situaciones:A) El punto está fuera de la recta en cualquiera de los semiplanos que esta determina.

Pr oy P P ' ; Pr oy Q Q '
L L

P

Q' P' L

Q
B) El punto A está en la recta ( A

L ).

Pr oy A A '
L

, A y A’ son el mismo punto.

A

.A'
B

L

Teorema: La proyección de un segmento AB sobre una recta L es el segmento, contenido en la recta, cuyos extremos A ' y B ' son lasproyecciones de los puntos A y B .

A

A'
L

B'

L

Pr oy AB A ' B '
En la proyección de segmentos se presentan los casos siguientes: A) Las rectas que contienen a los segmentos forman ángulos oblicuos con la proyectante.

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B A C B' C'

D

F

E' D' E F'

A'

L

Las medidas de las proyecciones son menores que las de los segmentos que...