Triangulos

UNIDAD 3.

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

TRIÁNGULOS

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Un triángulo es un polígono de tres vértices.
Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres
ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y
C lo denotamos ABC .

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS
Un triángulo es:
ESCALENO:
desiguales.

Si

tiene

sus

tres

lados

ISÓSCELES: Si tiene por lomenos un par de
lados congruentes. Si AB  AC entonces se
dice que el ABC es isósceles de base BC .
EQUILÁTERO:
congruentes.

Si tiene sus tres lados

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS
Un triángulo es:
ACUTÁNGULO:
agudos.

Si tiene los tres ángulos

ALTURA: Es la perpendicular trazada desde
un vértice a su lado opuesto o a su
prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es
la baserelativa a dicha altura.
BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de
un ángulo interior, por ejemplo AD .
BISECTRIZ EXTERIOR:

Es la bisectriz de

un ángulo exterior, por ejemplo

RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El
lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y
los lados que lo forman son los catetos.
OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.
EQUIÁNGULO:
congruentes.

MEDIANA:
Es elsegmento que une un
vértice con el punto medio M de su lado
opuesto, por ejemplo AM .

Si tiene los tres ángulos



AE .

MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa
por el punto medio M de un lado, por ejemplo

MN .
Todo triángulo tiene tres medianas, tres
alturas, tres bisectrices interiores, tres
bisectrices exteriores y tres mediatrices.

TEOREMA: Todo triánguloequilátero es
isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.

GEOMETRÍA

C.A.V.A.

2

TRIÁNGULOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

COROLARIOS:
1.

A  D


B  E 
C  F 



Dos elementos respectivamente congruentes
son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados
Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos).
TEOREMA: La congruencia de triángulos es
una relación de equivalencia:
1.2.
3.

Reflexiva: ABCABC
Simétrica: ABCDEF  DEFABC
Transitiva:
ABCDEF DEFGHIABCGHI

NOTA:
La transitividad será muy útil para
probar que dos triángulos son congruentes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S
CRITERIO L.A.L.
AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si
tienen un ángulo congruente formado por lados
respectivamente congruentes.

GEOMETRÍA

2.

Todotriángulo equilátero es equiángulo.
(Ejercicio)
En todo triángulo isósceles, la bisectriz
del ángulo opuesto a la base también es
mediana, altura y mediatriz con respecto
a la base.

4.

AB  DE 




 ABC   DEF  BC  EF  


AC  DF 



En todo triángulo isósceles los ángulos
opuestos a los lados congruentes son
congruentes.

3.

DEFINICIÓN:
Dostriángulos
son
congruentes si tienen sus tres lados
respectivamente congruentes y sus tres
ángulos respectivamente congruentes:

Por un punto exterior a una recta pasa una
y sólo una perpendicular a ella.

5.

En todo triángulo, cada ángulo exterior es
mayor que cualquiera de los dos ángulos
interiores no adyacentes.

6.

Todo triángulo tiene por lo menos dos
ángulos agudos. (Ejercicio)Dm:
1.
Supongamos que el
ABC es isósceles de
base BC y tracemos la
bisectriz AD del BAC,
con B-D-C.

AB  AC
hip. 
L :


Tenemos: A : BAD  CAD const.  , luego
 L : AD  AD reflex. 


por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos
homólogos resulta B = C.
3. También por lados homólogos BD=DC
entonces AD es mediana. Además por sHs
ADB=ADC, pero BDC=180º (porB-D-C),
entonces ADC=90º, luego AD es altura y
como pasa por el punto medio de BC , también
es su mediatriz.

C.A.V.A.

TRIÁNGULOS

3

4.
Debemos probar tanto la existencia
como la unicidad de dicha perpendicular.

5.
En el ABC consideremos el ángulo
exterior DAC y veamos que DAC  BCA .

Existencia: Sea A un
punto exterior a la
recta L. Tomemos dos
puntos B y C...