Tricotomia

Ley de tricotomía

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia parala Matemática, que es el orden. En otras palabras [pic]es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si [pic]y [pic]pertenecen a [pic], entonces se puede decir si la afirmación [pic]es verdaderao no. De forma precisa se puede decir que para cada [pic]y [pic]en [pic]se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

[pic] ; [pic] ; [pic]

Esta propiedad se conoce con elnombre de Ley de Tricotomía.

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si [pic], entonces [pic]es distinto de [pic]. Dicho de otra forma, no existe ningún número real [pic]tal que [pic].transitividad

Ejemplo: Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c.

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elementose relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

[pic]

Una relación R es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.La propiedad anterior se conoce como transitividad.

Densidad

0.1 Axioma del supremo

El conjunto de los números racionales Q cumple con la propiedades de cuerpo

y de orden que se cumplen enR, sin embargo en tal conjunto no podemos dar

respuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla

x2 = 2

es por eso que necesitamos dar otro axioma en R, antes debemos introduciralgunas definiciones.

Sea S _R, definimos:

Definición 0.1.1 Se dice que un número real a es cota inferior de S si a _ s

para todo s 2 S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “Sestá acotado

inferiormente”.

Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b _ s

para todo s 2 S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotado...