Trigo

Trigonometría
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La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente,cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas enastronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Teoría de grupos
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Diagrama de Cayley del grupo libre de orden dos.
En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Susobjetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.
Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable ensituaciones caracterizadas por la simetría.
El orden de un grupo es su cardinalidad; en base a él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.
Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y lageometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los investigadores iniciadores de ésta ciencia. Galois es reconocido como el primer matemático que relacionó ésta teoría con la teoría de cuerpos resultando en la teoría de Galois. Otros importantes matemáticos en este campo incluyen a Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Sylow entre muchos otros. Fue Walter von Dick quién en 1882, dio la modernadefinición de grupo.
Definiciones
Grupos
Un grupo es un conjunto G en el que se ha definido una ley de composición interna que satisface los siguientes axiomas:
1. Asociatividad:
2. Elemento neutro:
3. Elemento simétrico:
Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de objetos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna que los relaciona. Dicha ley decomposición interna indica cómo deben ser manipulados los objetos del grupo.
Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo cuando verifica además la propiedad conmutativa:

Notación
Se habla de notación aditiva cuando se representa la ley de composición interna como "a + b", y el elemento neutro como " 0 ". Por otro lado, la notación multiplicativa es aquella en la que la ley de composición interna serepresenta como "", o "ab", y el elemento neutro como " 1”. Ejemplos
* , el conjunto de números enteros con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
* , el conjunto de los números reales con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
* , el conjunto de los números reales(excluyendo al 0) con la multiplicación, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 1, y el simétrico de x es 1/x. Notar que al no tener el cero elemento simétrico multiplicativo, se lo debe excluir.
* El conjunto de todas las biyecciones de un conjunto X - simbolizado por S(X) - junto con la composición de funciones, es un grupo no abeliano (si la cardinalidad de X es mayor que...