Trigonometría esférica

E. T. S. DE INGENIERÍA en TOPOGRAFÍA, GEODESIA
Y CARTOGRAFÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
FUNDAMENTOS

UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS
Madrid, Septiembre de 2008

2

Manuel Barrero Ripoll
Mª Luisa Casado Fuente
Mª Ángeles Castejon Solanas
Luis Sebastián Lorente
Impreso en E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
Madrid, 2008

I.S.B.N.:84-96244-13-x

Índice

CONTENIDO
CAPÍTULO PRIMERO: GEOMETRÍA SOBRE LA
SUPERFICIE ESFÉRICA
1.1

Diedros y Triedros

6

1.2

Propiedades y Definiciones

7

1.3

Triángulos esféricos

9

1.4

Propiedades de los triángulos esféricos

11

1.5

Clasificación de triángulos esféricos

12

1.6

Triángulos esféricos polares

12

1.7

Triángulos esféricos adyacentes ysimétricos

13

1.8

Superficie de un triángulo esférico

14

1.9

Superficie de un polígono esférico

14

1.10 Ejercicios propuestos

16

CAPÍTULO SEGUNDO: RELACIONES ENTRE LOS LADOS
Y LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO
2.1 Teorema del seno

19

2.2 Teorema de coseno

20

2.3 Teorema de la cotangente

22

2.4 Teorema del coseno para los ángulos

23

U. D. deMatemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

3

Índice

2.5 Funciones de los ángulos mitad

24

2.6 Analogías de Gauss-Delambre

26

2.7 Analogías de Neper

27

2.8 Distancia esférica entre dos puntos

28

2.9 Ejercicios propuestos

30

CAPÍTULO TERCERO: TRIÁNGULOS ESFÉRICOS
RECTÁNGULOS Y RECTILÁTEROS

3.1 Triángulos rectángulos. Regla de Neper

353.2 Proposiciones

36

3.3 Resolución de triángulos rectángulos

37

3.4 Triángulos esféricos rectiláteros. Resolución

39

3.5 Ejercicios propuestos

42

CAPÍTULO CUARTO: PROBLEMAS

4.1 Problemas resueltos

46

4.2 Problemas propuestos

52

4.3 Soluciones

57

U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

4

Geometría sobre la superficieesférica.

CAPÍTULO PRIMERO:
Geometría sobre la superficie esférica
1.1

Diedros y Triedros

6

1.2

Propiedades y Definiciones

7

1.3

Triángulos esféricos. Definiciones y Propiedades

9

1.4

Propiedades de los triángulos esféricos

11

1.5

Clasificación de triángulos esféricos

12

1.6

Triángulos esféricos polares

12

1.7

Triángulos esféricos adyacentesy simétricos

13

1.8

Superficie de un triángulo esférico

14

1.9

Superficie de un polígono esférico

14

1.10 Ejercicios propuestos

U. D. de Matemáticas. ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía

16

5

Geometría sobre la superficie esférica.

6

1.1 Diedros y Triedros

Se llama diedro, a la región del espacio comprendido entre dos semiplanos a y b limitadospor una recta común AB (fig. 1.1-a).
Los semiplanos a y b que lo forman se llaman caras del diedro, y la recta común AB arista.
Se llama ángulo correspondiente a un diedro, al ángulo formado por dos perpendiculares a la
arista en un mismo punto y una en cada cara. Así, si EF y HE son perpendiculares a la arista
AB, el ángulo FEH es el ángulo del diedro.
B

V

B
E

a
H

V

a
bc

c

A

b

A

a

b

B

A
C

C

A
F

Fig.1.1-c
Fig . 1 .1 - a

Fig.1.1-b

Tres semirrectas en el espacio no situadas en el mismo plano, y con origen común en un punto
V, constituyen un triedro (fig. 1.1-b).
El punto V y las semirrectas se llaman, respectivamente, vértice y aristas del triedro.
Los ángulos que determinan cada dos aristas consecutivas se llaman ladoso caras del triedro,
su medida es siempre menor que 180°, y se designan con las letras a, b y c.
Cada semirrecta determina dos semiplanos que contienen respectivamente a las otras dos. Los
diedros así definidos se llaman ángulos del triedro, su medida es siempre menor que 180°, y
se designan mediante las letras A, B y C. (Se designa por A el diedro cuya arista contiene a la
semirrecta que...