Trigonometría Esférica

TRIGONOMETRÍA ESFERICA
El mundo en el que vivimos tiene la forma aproximada de una esfera. Los astrónomos consideran que las estrellas del firmamento se mueven también en la superficie de una esfera a la que llaman la bóveda celeste, no es de extrañar pues que la Trigonometría Esférica y, en general la geometría de la esfera, haya sido objeto de estudio desde las más antiguas civilizacionesAsí como la Trigonometría Plana se dedica al estudio de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos planos, es decir, de los triángulos que se pueden construir sobre un plano, la Trigonometría Esférica estudia las mismas medidas y relaciones, pero aplicadas al caso de triángulos esféricos, es decir triángulos construidos sobre la superficie de una esfera. Sin embargo, hay que tener encuenta que los lados de un triángulo esférico no se construyen con curvas cualesquiera, sino que deben ser arcos de círculo máximo.

Círculos máximos, polos y hemisferios.
Supongamos que partimos de una esfera de radio uno. Si cortamos dicha esfera con un plano que pase por el centro de la esfera obtendremos lo que se llama un círculo máximo. En el caso en que el plano la corte sin pasar por elcentro de la esfera, lo que obtendremos es un círculo menor. De hecho, los círculos máximos son circunferencias dibujadas sobre la esfera cuyo centro coincide con el centro de la esfera. Los meridianos y paralelos que podemos ver en una en una bola del mundo y mediante los que se representan la longitud y latitud de un lugar, son un buen ejemplo de estos dos tipos de circunferencias:

Losmeridianos (los que surcan la esfera verticalmente, como el famoso meridiano de Greenwich) son círculos máximos. En cambio, los paralelos, los círculos horizontales, son círculos menores, excepto el Ecuador, que es el único paralelo que es círculo máximo.

Consideremos ahora que tenemos una esfera y un círculo máximo cualquiera perteneciente a ella. Si trazamos una recta perpendicular al plano quedefine el círculo máximo y que pase por el centro de la esfera, obtendremos dos puntos en la esfera que se denominan polos. En el globo terrestre, los polos correspondientes al círculo máximo que define el Ecuador son los polos geográficos que denominamos Polo Norte y Polo Sur.
Cualquier círculo máximo divide a la esfera en dos semiesferas llamadas hemisferios. Siguiendo con el ejemplo del globoterrestre, el Ecuador es un círculo máximo que divide a la esfera en dos semiesferas a las que se denominan hemisferio Austral y hemisferio Boreal.
Una vez establecidos estos conceptos podemos dar una definición más precisa de triángulo esférico como “la porción de superficie esférica limitada por tres círculos máximos, con la condición de que la medida de cada uno de los arcos sea menor que180º”.

Diedros

Ya que la Trigonometría Esférica estudia figuras (concretamente triángulos) inmersas en un espacio de tres dimensiones, se hace necesario ampliar también el concepto de ángulo plano. De la misma forma que el ángulo plano se define como el comprendido entre dos semirrectas, el ángulo en tres dimensiones se define como el comprendido entre dos semiplanos y recibe el nombre deángulo diedro).

Por ejemplo, la pared y el techo de una casa forman un ángulo diedro, que suele ser recto (de 90º) si se trata de una habitación, o un ángulo obtuso (>90º) si lo forman la pared y un tejado inclinado.

Medida de ángulos y lados
En Trigonometría Plana los ángulos se miden en grados sexagesimales y los lados en centímetros, metros o en cualquier otra unidad de longitud quehayamos acordado. En Trigonometría Esférica las cosas son algo diferentes, ya que los lados de un triángulo esférico se pueden medir en unidades de arco.

En principio, podríamos medir los lados de estos triángulos en metros, kilómetros o millas náuticas y, de hecho, se hace así cuando se calculan distancias en la esfera terrestre, pero no es el mejor sistema cuando se trata de resolver...