trigonometría

TRIGONOMETRÍA

(Este apunte está basado en el capítulo 6 de Precálculo de Stewart, Redlin y Watson de Editorial Thomson, libro del cual se recomienda su lectura)

La Trigonometría es la rama de la Matemática que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. Su nombre deriva del griego (trigonon = triángulo y metron= medida).
En la definición anterior hemos usado algunaspalabras que definen elementos geométricos (ángulo, lado, triángulo). En lo que sigue y en la medida que sea necesario definiremos con mayor detalle algunas de las propiedades de los mismos.

ÁNGULO
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Podemos interpretar a un ángulo como la rotación de una de las semirrectas a la que denominamos ladoinicial (R1) hacia la otra que llamamos lado final o terminal (R2). Al origen común se le denomina vértice del ángulo.
Por convención se determina que si el giro se realiza en sentido contrario a las agujas del reloj el ángulo se considera positivo mientras que los ángulo negativos corresponden a un giro realizado en el mismo sentido horario.(fig. 1)



Un ángulo puede estar situado en cualquierparte del plano pero, a veces nos será útil trasladarlo a un sistema cartesiano de coordenadas de modo que el vértice del ángulo caiga sobre el origen de coordenadas y el lado inicial sobre el eje positivo de abscisas, a la cual suele denominarse posición estándar.(fig. 2)


La medida de un ángulo es saber “cuanto” debe girar R1 hasta alcanzar a R2. Para decirlo en una forma coloquial: medimosla “abertura” del ángulo. Podemos utilizar diferentes unidades de medida.

Radián

Podemos trazar un ángulo de tal forma que su vértice coincida con el centro de una circunferencia.
La intersección del ángulo con la circunferencia determina un segmento de arco, que se llama arco subtendido por el ángulo (fig. 3)


Se define como 1 Radián. la medida del ángulo cuyo arco subtendido esigual a la longitud del radio de la circunferencia.
En la práctica es común trazar una circunferencia de radio unitario (de acuerdo a la unidad de medida de longitud que se esté usando) y el ángulo de 1 Radián subtenderá un arco cuya longitud tiene valor 1.
Como la longitud de la circunferencia (con radio unitario) es 2 , entonces el ángulo de un giro mide 2 radianes, el de medio giro radianes y el ángulo recto medirá /2 radianes.

¿Cuál es la relación entre la medida de un ángulo en radianes y en grados sexagesimales?

Sabemos que para el ángulo de un giro la medida en grados es 360º y en radianes es 2.

Luego 1 radián = = 57,29578º, que equivale a 57º 17`44.8``
Inversamente 1º = = 0,01745 rad.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS , SUPLEMENTARIOS Y ADYACENTES

Dos ángulos yson complementarios cuando su suma ( rad)

Dos ángulos y son suplementarios cuando su suma (  rad)

Dos ángulos  y  son adyacentes cuando son consecutivos (tienen un lado en común) y sus lados no comunes son semirrectas opuestas. Los ángulos adyacentes son suplementarios (fig. 4).


Dos ángulos para los cuales sus lados coinciden se llaman coterminales y difieren en su valor enun múltiplo entero de 360º o de 2. La figura siguiente muestra dos ángulos coterminales


CUADRANTES

En la figura siguiente se identifican los diferentes cuadrantes que se forman tomando las diferentes combinaciones de abscisas y ordenadas y los valores (expresados en grados sexagesimales y en radianes) de los ángulos que marcan el límite entre un cuadrante y el sucesivo.

Valor dela abscisa
Valor de la ordenada
Primer cuadrante
Positivo
Positivo
Segundo cuadrante
Negativo
Positivo
Tercer cuadrante
Negativo
Negativo
Cuarto cuadrante
Positivo
Negativo







FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

Ubiquemos un triángulo rectángulo en posición estándar. El punto P de coordenadas (x,y) representa el extremo del lado final del ángulo  . En principio...