TRIGONOMETR A HIPERB LICA

Trigonometr´ıa Hiperb´olica

Carlos Enrique Pino G

u
(0, b)

N

R

M

R(x, y)

b
V

V
F (−c, 0)

F (c, 0)

0
b

L

(0, −b)

M
u

N

L

”Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la soluci´
on de
cualquier problema hay una pizca de descubrimiento.
Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto para tu curiosidad y hace
que entren en juego tus facultades de inventiva, y si loresuelves con tus propios
medios experimentar´
as la tensi´
on y gozar´
as el triunfo del descubrimiento.”
George Polya
“El arte de ense˜
nar es el arte de ayudar a descubrir.”
Mak Van Doren.

I

Contenido

Pag

Pr´ologo............................................................................................ II
LaHip´erbola.................................................................................. 1
Funciones Hiperb´olicas................................................................ 3
Funciones Hiperb´olicas Pares e Impares................................. 5
Gr´aficas de las Funciones Hiperb´olicas................................... 7
Identidades Hiperb´olicas Fundamentales............................... 10
´
F´omulas de Adici´on de Angulos............................................... 11
´
F´omulas de Angulos
Dobles....................................................... 14
´
F´omulas de Angulos
Mitad......................................................... 15
´
F´omulas de Angulos
Triples....................................................... 16
F´omulas de Multiplicaci´on y Transformaci´on........................ 17
Funciones Hiperb´olicasInversas................................................. 21
Apendice............................................................................................ 33

II

Pr´
ologo
La analog´ıa es, en t´erminos muy generales, la correlaci´on entre los t´erminos
de dos o varios sistemas u o´rdenes, es decir, la existencia de una relaci´on entre
cada uno de los t´erminos de un sistema y cada uno de los t´erminos de otro.
Seha hablado tambi´en de analog´ıa como semejanza de un cosa con otra, de
la similitud de unos caracteres o funciones con otros. En este u
´ ltimo caso la
analog´ıa consiste en la atribuci´on de los mismos predicados a diversos objetos,
pero esta atribuci´on no debe ser entendida como una determinaci´on u
´ nivoca
de estos objetos, sino como la expresi´on de una correspondencia, semejanza ocorrelaci´on establecida entre ellos. La palabra analog´ıa, se usa en un sentido
de inducci´on muy rigurosa, como la “semejanza de relaciones” y otra se aplica
a razonamientos fundados en cualquier tipo de semejanza. Pero aunque ciertas
semejanzas pueden proporcionar alg´
un grado de probabilidad, no es posible
llegar a conclusiones inductivamente aceptables en muchos casos. Por lo tanto,
aunque puedeusarse el razonamineto por analog´ıa, hay que hacerlo solamente cuando se dan ciertas condiciones; junto a semejanzas, hay que investigar
diferencias y ver la relaci´on entre ambas dentro de un conocimiento “tolerablemente amplio” de la materia. Solo cuando la semejanza es muy grande y la
diferencia muy peque˜
na, sostiene John Stuart Mill, puede apoximarse el razonamiento por analog´ıa a unainducci´on v´alida.
En un sentido no muy distinto del de John Stuart Mill, Ernst Mach consider´o la analog´ıa como una relaci´on entre sistemas de conceptos hom´ologos
que puedan dar lugar a diferencias o concordancias cuya relativa fuerza pueda
establecerse y medirse.
La trigonometr´ıa hiperb´olica que se desarrolla en este trabajo se ha construido a partir de la analog´ıa que se establece entre latrigonometr´ıa circular y ´esta.
Las relaciones algebraicas en ambas trigonometr´ıas son las mismas. Definidas las funciones seno hiperb´
olico y coseno hiperb´
olico se pueden definir las
restantes funciones hiperb´olicas en t´erminos de estas dos funciones. Se llaman
funciones hiperb´
olicas porque se pueden describir como las proyecciones, seg´
un
el eje X y el eje Y , de los puntos sobre una...