trigonometria espacial

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TRIGONOMETR´ ESFERICA
IA
2001
Kepler Ck Ikastegia

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1.1

Introducci´n
o

La Trigonometr´ es una rama de la Matem´tica en la que se analiza la
ıa
a
medida de las partes de los tri´ngulos, tanto de los tri´ngulos planos como
a
a
de los esf´ricos as´ como de las figuras que se forman con ellos.
e
ı
As´ como en Topograf´ y en Cartograf´ es muy importante la Trigonometr´
ııa
ıa
ıa
Plana, en Astronom´ y en Geodesia es fundamental el an´lisis de los tri´ngulos
ıa
a
a
esf´ricos.
e
En el posterior desarrollo de la Trigonometr´ Esf´rica se considera b´sico
ıa
e
a
el conocimiento de la Trigonometr´ Plana y de las propiedades de las funıa
ciones trigonom´tricas.
e

1.2

Geometr´ sobre la superficie esf´rica
ıa
e

El an´lisis de las figuras que serepresentan sobre la superficie esf´rica
a
e
lo lleva a cabo la Geometr´ Esf´rica. Los conceptos fundamentales de
ıa
e
esta Geometr´ son los siguientes: circunferencias m´ximas, circunferencias
ıa
a
menores, distancia esf´rica, ´ngulo esf´rico . . . Mediante estos conceptos se
e
a
e
definen el tri´ngulo esf´rico y su tri´ngulo polar y adem´s se deducen sus
a
e
a
a
propiedadesfundamentales.
Definici´n 1.1 Se llama circunferencia m´xima o ciclo a la intersecci´n de
o
a
o
la superficie esf´rica con un plano que pase por su centro.
e
Definici´n 1.2 Se llama circunferencia m´
o
ınima o menor a aquella que se
obtiene como intersecci´n de la esfera con planos que no pasan por su centro.
o
Definici´n 1.3 Se denominan polos de un ciclo a los extremos del di´metro
o
a
de laesfera que es perpendicular al plano que define el ciclo.

´
1.2. GEOMETR´ SOBRE LA SUPERFICIE ESFERICA
IA
Circunferencia menor

P

3
Polos

O

Ciclo

P

Figura 1.1: Ciclos, polos y circunferencias menores
Dados dos ciclos de una superficie esf´rica siempre se cortan en dos puntos
e
que son los extremos de un di´metro de la esfera; en efecto, los planos que
a
determinan los dosciclos se cortan en una recta que pasa por el centro de la
esfera, es decir, en un di´metro, luego los extremos del mismo son los puntos
a
en que se cortan los ciclos.
Definici´n 1.4 Se llama ´ngulo esf´rico entre dos ciclos al ´ngulo formado
o
a
e
a
por las semitangentes a las circunferencias en uno de sus puntos de contacto.
Tambi´n se puede definir como el ´ngulo diedro que forman losplanos que
e
a
determinan los ciclos.

A
B

´
Figura 1.2: Angulo esf´rico
e
Definici´n 1.5 Se define la distancia esf´rica entre dos puntos como la
o
e
longitud del menor arco del ciclo que los contiene.
Una de las aplicaciones del concepto anterior es el c´lculo de la distancia
a
entre dos lugares geogr´ficos de la Tierra si consideramos que es una esfera.
a
El arco de unacircunferencia m´xima en una esfera y el segmento de una
a
recta en el plano son conceptos an´logos y por tanto, la Geometr´ Esf´rica
a
ıa
e
puede desarrollarse de la misma forma en que se ha desarrollado la Geometr´ Plana.
ıa

4

O
A

B

Figura 1.3: Distancia esf´rica
e

1.3

Tri´ngulos esf´ricos. Propiedades
a
e

Definici´n 1.6 Se llama tri´ngulo esf´rico a la porci´n desuperficie esf´rica
o
a
e
o
e
limitada por tres arcos de ciclo.

C

a

b
O

B

c
A

Figura 1.4: Tri´ngulo esf´rico
a
e
Los lados del tri´ngulo esf´rico son los arcos a, b y c; los v´rtices o ´ngulos
a
e
e
a
A, B y C son los ´ngulos diedros que forman los arcos dos a dos.
a
Observaci´n 1.1 Los lados de un tri´ngulo esf´rico, si bien son arcos de
o
a
e
ciclo, se considerar´ncomo medidas angulares. En caso de querer conocer
a
la medida de longitud del arco bastar´ multiplicar por el radio de la esfera.
a
Definici´n 1.7 Cuando se unen mediante rectas el centro O de la esfera
o
con los v´rtices de un tri´ngulo esf´rico A, B y C, se forma un ´ngulo triedro
e
a
e
a
que se denomina ´ngulo triedro asociado al tri´ngulo esf´rico ABC; los lados
a
a
e
del...