Trigonometria Funciones Inversas

“FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS”
Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuacionesdiferenciales. Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los dominios se puede hallarla inversa.
Recordemos que una relación es un subconjunto de un producto cartesiano,
es decir R ⊆ A × B o bien R : A −→ B, en tanto que su relación inversa
R−1 : B −→ A, o bien R−1 = {(y, x) / (x, y)∈ R}
El gráfico de R esta dado por el conjunto de puntos {(x, y) / x ∈ DomR; (x, y) ∈ R} y el de su relación inversa {(y, x) / y ∈ DomR−1; (x, y) ∈ R}, note que DomR = RecR−1 ∧ DomR−1 = RecR.

Lafunción f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [-p /2,p /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalosobre el segundo y su función inversa que denotaremos por: f -1(x)=arc sen x
estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.
Es inmediato comprobar que arc sen (- x)=-arc sen x para todo x en [-1, 1].

La función f(x)=cos x, definida en el intervalo cerrado [0, p ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función espues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por: f -1(x)=arc cos x
estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.Nòtese que en ambos casos las funciones seno y coseno no se han considerado en toda la recta real puesto que no en ella no son inyectivas y por lo tanto su función inversa no estaría definida.Teorema.- Las funciones trigonométricas inversas arc cos x y arc sen x definidas en el intervalo [1,1] son derivables en todos los puntos de (-1, 1) y se tiene
La función f(x)=tag x, definida en el...