TRIGONOMETRIA Integral









1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO.
Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.







L.I.: Lado inicial
L.F.: Lado Final

1.1 CONVENCIÓN :
Angulos Positivos
Si el rayo gira en sentido Antihorario





Angulos Negativos
Si el rayo gira en sentido horario.




Ejemplo:







Nótese en lasfiguras:
“” es un ángulo trigonométrico de medida positiva.

“x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa.
 Se cumple: x=-
Observación:
a) Angulo nulo
Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero.



b) Angulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez.








c) Magnitud de un ángulo
Los ángulostrigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo.













2. SISTEMAS ANGULARES
Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición.

2.1 Sistema Sexagesimal
Su unidad ángular es el gradosexagesimal(1º); el cual es equiva-lente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.

 1V 360º

Equivalencias:

1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’

2.2 Sistema Centesimal
Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.

 1V= 400g

Equivalencias:

1g=100m 1m=100s 1g=10000s

2.3 Sistema Radial o Circular oInternancional
Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.












 1V=2rad  6,2832

Nota
Como  = 3,141592653...
Entonces:



3. CONVERSION DE SISTEMAS
Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes.

Magnitudes angulares equivalentes

1 vuelta : 1 v360º=400g=2rad
Llano : 1/2v 180º=200g=rad
Grados : 9º =10g

Ejemplos:
Convertir a radianes la siguiente magnitud angular =12º
Resolución:

Magnitud Factor de
equivalente Conversión
rad = 180º



Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =15º
Resolución:

Magnitud Factor de
equivalente Conversión
rad = 200gConvertir a sexagesimal la sgte. magnitud angular: =40g

Magnitud Factor de
equivalente Conversión
9º = 10g

Hallar:

Resolución:
Recordando: 1º=60’
1g = 100m
9º = 10g

Reemplazando en:



E = 60 +100 + 2 =162

Hallar: a+b sabiendo
Resolución:
Equivalencia: rad = 180º



 22,5º = 22º+0,5º + =22º30’

Luego:


Efectuando:
a=22
b=30

Entonces : a+b = 52Nótese que para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión.

Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular. =16g

Resolución:
A) 16g a sexagesimales

Factor de conversión =

Luego:


B) 16g a radianes

Factor de conversión =

Luego:


4. FORMULA GENERAL DE
CONVERSION
Sean S, C y R los números que representan la medida de un ánguloen los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.









De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1)
Además 180º = 200g = rad ... (2)

Dividiendo (1) entre (2) tenemos:



Fórmula particulares:







Ejemplos:
Convertir a grados sexagesimal.

Resolución:

Sabemos que:
  S=36
 = 36º

Convertir 60g aradianes.

Resolución:

Sabemos que:





Convertir 27º a grados centesimales.
Resolución:

Sabemos que:

 C=30

 27º=30g
Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es 222. ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo?

Resolución:
Si S, C y R son números que representan las medidas del ángulo en grados...