Trigonometria

|REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE-RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJÍAS”
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
NÚCLEO CHARALLAVE | |

TRIGONOMETRÍA

SEMEJANZA Y CONGRUENCIA

Definición (Conjuntos ordenados de números proporcionales)
Dos conjuntos ordenados de números positivos {a1, a2, …, an} y {b1, b2, … , bn}, sonproporcionales si y sólo si: [pic].
Notas
• Llamamos constante de proporcionalidad a la razón común k.
• La constante de proporcionalidad es una generalización de la idea de escala en un mapa. Por ejemplo, si a1, a2, …, an se asignan para las distancias en el mapa de una ciudad, y b1, b2, … , bn para las distancias correspondiente en la ciudad, entonces, la razón entre dos distanciascorrespondientes cualesquiera, digamos a1 a b1 es la escala.
Ejemplo

(a) Los números 1, 2, 4 y 6 son proporcionales a los números 2, 4, 8 y 12. La constante de proporcionalidad es: [pic].
(b) Los números 2, 4, 8 y 12 son proporcionales a los números 1, 2, 4 y 6. La constante de proporcionalidad es: k = 2.

Propiedades
Propiedad 1
La relación “es proporcional a” es una relación deequivalencia. Esto es, esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva.
Propiedad 2
Si los números positivos a y b son proporcionales a los números positivos c y d, entonces los números positivos a y c son proporcionales b y d.
Propiedad 3
Si los números a1, a2, …, an y b1, b2, … , bn, son proporcionales y k es la constante de proporcionalidad, entonces [pic].
Propiedad 4
Si k es la constante deproporcionalidad para a1, a2, …, an y b1, b2, … , bn, entonces [pic] lo será para b1, b2, … , bn y a1, a2, …, an.

Definición (Correspondencia entre los vértices de triángulos)
Sean los triángulos ∆ABC y ∆DEF. Una correspondencia entre los vértices de éstos es cualquier función biyectiva del conjunto {A, B, C} en el conjunto {D, E, F}.
Notaciones
• La correspondencia que asigna alpunto X con el punto Y se escribe como sigue: X ↔ Y.
• La siguiente notación: ABC ↔ DEF describe la correspondencia entre vértices que hace las siguientes asignaciones: A ↔ D, B ↔ E y C ↔ F.
Notas
• Es claro que dados los triángulos ∆ABC y ∆DEF existen 6 = 3! correspondencias entre los vértices de estos triángulos. Una de ellas será, por ejemplo, ABC ↔ FDE.

Definición (Ladoscorrespondientes en una correspondencia entre vértices)
Dada la correspondencia ABC ↔ DEF, se dice que: [pic] es el lado correspondiente con el lado [pic], [pic] es el lado correspondiente con el lado [pic] y [pic] es el lado correspondiente con el lado [pic],

Nota
• Es claro que, al cambiar la correspondencia, en general, cambia la correspondencia de lados.

Teorema de Thales

|Si dosrectas cualesquiera se cortan por varias rectas |[pic] |
|paralelas, los segmentos determinados en de las rectas son | |
|proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. | |
|Esto es, en lafigura anexa, tenemos que: [pic] | |

Definición (Ángulos correspondientes en una correspondencia de vértices)
Dada la correspondencia ABC ↔ DEF, se dice que:[pic]es el ángulo correspondiente con el ángulo [pic], [pic] es el ángulo correspondiente con el ángulo [pic] y [pic] es el ángulo correspondiente con el ángulo[pic],Nota
• Como en el caso anterior, es claro que, al cambiar la correspondencia, en general, cambia la correspondencia de ángulos.

Noción de semejanza
En general dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma, proporcionalmente hablando, pero no necesariamente el mismo tamaño, aunque eventualmente podrían tener el mismo tamaño, en cuyo caso la semejanza se convierte en una...