Trigonometria

PROBLEMA RESUELTO
(Miguel Ángel Castillo)

Dada la función trigonométrica
1 π f ( x ) = 3 sen ⎛ x + ⎞ − 1 ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝2

a. b.

Encuentre la amplitud, período ydesplazamiento de fase. Dibuje la representación gráfica de la función.

Solución
a. Para resolver éste problema se debe comenzar expresando la función en la formageneral correspondiente

y = a sen [ k ( x − c ) ]
Procediendo a sacar factor común

1 se tiene 2

π 1 f ( x ) = 3 sen ⎛ x + ⎞ − 1 ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝2 π 1 = 3 sen ⎡ ⎛ x+ ⎞⎤ − 1 ⎜ ⎟⎥ ⎢2 ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣
Observe que al multiplicar función dada. Ahora ya es posible responder las preguntas: Amplitud = a = 3 = 3 Período = 2π = 2π = 4π k 1 2Desplazamiento de fase = c = − b.

1 π se obtiene π que es la constante que aparece en la por 2 4 2

π , es decir que se desplaza π hacia la izquierda.
2 2

Paradibujar la representación gráfica, observe en primer lugar que está desplazada 1 unidad hacia abajo. Proceda a trazar una recta horizontal con ecuación y = −1 , queservirá como eje central de la gráfica. Como la amplitud es 3, la gráfica subirá 3 unidades hacia arriba y descenderá 3 unidades hacia abajo del eje central. Un ciclocomienza en x = − termina en x = −

π , que corresponde a su desplazamiento de fase y
2

2 desplazamiento de fase.

π + 4π = 7π ; este último valor se obtienesumando el périodo al
2 Por lo tanto un intervalo apropiado para dibujar un ciclo

completo es ⎡ − π , 7π ⎤ . La figura siguiente muestra en color azul larepresentación ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ ⎦ gráfica de la función y en color rojo la gráfica de la función y = sen x . Esta gráfica ha sido construida con el programa Mathematica.