Trigonometria

APLICACIONES GEOMÉTRICAS
 
Aplicación de la trigonometría a la resolución de triángulos oblicuángulos o escalenos.
¿Qué es un triángulo escaleno? el DRAE nos da la respuesta: escaleno (Del gr. ç oblicuo) adj. Geom. V. triángulo escaleno. Geom. El que tiene los tres lados desiguales.
Los triángulos escalenos se clasifican en acutángulos si los tres ángulos son agudos y obtusángulossi uno de los ángulos es obtuso
NOTA: La irregularidad presenta más dificultades que la regularidad.
Para resolver problemas de triángulos escalenos hemos de buscar alguna propiedad geométrica que le sea de aplicación.
Sea el triángulo ABC de la figura. 

Propiedades  de los triángulos:

En todo triángulo la suma de sus ángulos es igual a ciento ochenta grados sexagesimales |Simbólicamente sería:
A + B + C = 180       (1)
Los lados tienen estas propiedades:

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él |
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble productode uno de ellos por la proyección del otro sobre él. |
Simbólicamente se expresarían así:
a2 = b2 + c2  - 2cn      (2)
a2 = b2 + c2 + 2cn      (2')
NOTA: n es la proyección de b sobre c.
OBSERVACIÓN: Recuérdese que la proyección de un punto sobre un eje es, el pie de la perpendicular trazada desde el punto sobre el eje y la proyección de un segmento es, el segmento resultante de unir lasproyecciones de sus extremos
Teorema del coseno
Sea el triángulo acutángulo, ABC de lados a, b, c. 

Si proyectamos ortogonalmente el punto C sobre el lado c, obtendremos el punto H, que con A y C forman un triángulo rectángulo; en él, n = AH, proyección de b, sobre c, se cumplirá que:
n = b cos A    (3)
si sustituimos (3) en (2), se obtiene:
a2 = b2 + c2 - 2cb cos A  (4)
 
Seael triángulo obtusángulo, ACB de lados a, b, c.

Si proyectamos ortogonalmente el punto C sobre la prolongación del lado c, obtendremos el punto H, que con A y C forman un triángulo rectángulo; en él, n = AH, proyección de b, sobre c, se cumplirá que:
     n = b cos (180 - A) 
NOTA: Obsérvese que el ángulo A es el BAC y el ángulo (180-A) es el HAC
si sustituimos (3) en (2'), se obtiene:a2 = b2 + c2 + 2cb cos (180 - A)  (5)
Pero el cos (180 - A) = - cos A      (6)
sustituyendo (6) en (5) resultará:
a2 = b2 + c2 + 2cb (- cos A)
 o lo que es lo mismo
a2 = b2 + c2  - 2cb cos A
que es la misma expresión de (4)
Esta propiedad se conoce con el nombre de
Teorema del coseno
y se enuncia así: 
El cuadrado del lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadradosde los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.
Teorema del seno
Sea el triángulo ABC de la figura, inscrito en una circunferencia de centro O

El diámetro trazado por A, corta a la circunferencia en C’. El ángulo ABC’ es recto en B, ya que se trata de un ángulo inscrito que abarca un arco de amplitud 180. En él se cumplirá:
sen C’ =AB/AC’ = c/diámetro = c/2R
R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. El diámetro de una circunferencia es el doble del radio.
Los ángulos C y C’ son iguales por ser ángulos inscritos con la misma amplitud: el arco AB. Por tanto 
sen C = c/2R de donde  2R = c/sen C (7)
El mismo razonamiento para los otros lados y ángulos del triángulo inscrito nos llevaría a las siguientesconclusiones:
   2R = b/sen B       (8) 
y
2R = a/sen A        (9)
Como los primeros miembros son iguales, los segundos miembros también han de serlo (propiedad transitiva de las relaciones) por tanto se puede escribir:
a/sen A = b/ sen B = c/sen C = 2R 
Esta propiedad se conoce con el nombre de
Teorema del seno 
y se enuncia así:
En todo triángulo, los lados son directamente...