trigonometria

7

Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO

SENO

COSENO

TANGENTE

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

sen α
= tg α
cos α

sen 2 α + cos 2 α = 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE 30°, 45° Y 60°

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS
AL PRIMER CUADRANTE

COMPLEMENTARIO

210

SUPLEMENTARIO

OPUESTOLas Bocas del Cielo
Seguro que tenía poderes mágicos. Aquel cofre de ébano con adornos de plata ejercía
sobre él tal atracción que daría lo que fuera por averiguar el contenido que su
maestro, Claudio Ptolomeo, guardaba en él celosamente.
El momento había llegado y su corazón amenazaba con escaparse por su boca.
Ptolomeo, por fin, había terminado su trabajo y se disponía a desvelar elmisterio.
El joven, Nemes, lo acuciaba hablando sin parar.
–¿Sabéis, maestro? Siempre he deseado ver el tesoro del cofre.
A veces soñaba que podía hacerme tan pequeño
como para entrar por la cerradura y al hacerlo el mundo
entero estaba dentro, y corría mil aventuras, y… ¡por favor,
decidme lo que hay!
Ptolomeo no pudo contener una risita y mientras abría
el cofre, con gran solemnidad, le dijo:–Aquí tienes todo el mundo: sus mares y sus tierras,
sus ríos y sus desiertos, sus montañas y sus valles.
Nemes no podía dar crédito a lo que veía: un mapa
que representaba todo el mundo. Recorrió el Nilo
con su dedo y, de repente, exclamó:
–El nacimiento de la divinidad es como dicen
los sacerdotes: «Encontrarás las Bocas del Cielo
más allá de las Montañas de la Luna». Pero,
¿cómo habéissido capaz de saber el lugar exacto
si nunca habéis estado en esos lugares?
–Hablo con los viajeros, algunos miden los ángulos
con los que ven algunas estrellas, y eso me da la
situación exacta: a ángulos iguales les corresponden
distancias semejantes.

7 cm

4 cm

La altura sobre el lado desigual, que mide 5 cm,
de un triángulo isósceles es 4 cm. ¿Cuánto mediría
otro semejante si laaltura fuera 7 cm?

5 cm

4 7
5 ⋅7
= →x=
= 8,75 cm
5
x
4

Trigonometría
EJERCICIOS
001

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos α y β.
a)

b)
β

29 cm

25 cm

15 cm

α

β

α

20 cm

20 cm

21 cm

15
= 0, 6
25
20
cos α =
= 0, 8
25
15
tg α =
= 0, 75
20

20
= 0, 8
25
15
= 0, 6
cos β =
25
20
tg β =
= 1, 33
15

20
= 0, 69
2921
cos α =
= 0, 72
29
20
tg α =
= 0, 95
21

21
= 0, 72
29
20
cos β =
= 0, 69
29
21
tg β =
= 1, 05
20

a) sen α =

sen β =

b) sen α =

002

sen β =

Halla las razones trigonométricas de los ángulos.

33 cm

β

h
α
56 cm

h=

562 + 332 = 65 cm

56
= 0, 86
65
33
= 0, 51
cos α =
65
56
tg α =
= 1, 7
33
sen α =

003

33
= 0, 51
65
56
cos β=
= 0, 86
65
33
= 0, 59
tg β =
56
sen β =

Razona por qué las razones trigonométricas de un ángulo no dependen
del triángulo que escogemos.
Si las razones no dependen del triángulo es porque son triángulos
semejantes, y el cociente de sus lados es constante.

212

SOLUCIONARIO

004

7

Calcula el resto de razones trigonométricas conociendo la que se indica.
a) sen α = 0,3b) sen β = 0

c) cos γ = 0,4

d) tg δ = 2

a) sen 2 α + cos 2α = 1 → (0,3)2 + cos 2 α = 1
1 – (0,3)2 = 0,91 = 0,95
sen α
0,3
→ tg α =
tg α =
= 0,32
cos α
0,95
cos β = 1

b) sen 2 β + cos 2 β = 1 → 0 + cos 2 β = 1 → cos β = 1 → 
cos β = –1


sen β
tg β =
=0
cos β
→ cos α =

c) sen 2 γ + cos 2 γ = 1 → sen 2 γ + (0,4)2 = 1
→ sen γ = 1 − 0,16 = 0,84 = 0,92
sen γ0,92
= 2,3
→ tg γ =
tg γ =
cos γ
0,4

d) sen 2 δ + cos 2 δ = 1  sen δ = 2 · cos δ

 → (2 · cos δ)2 + cos 2 δ = 1
sen δ

= 2


cos δ

5
1
→ 5 · cos 2 δ = 1 → cos δ =
=
5
5
5
2 5
sen δ = 2 · cos δ → sen δ = 2 ·
=
5
5
005

¿Existe algún ángulo con sen α = 0,4 y cos α = 0,6? Justifica la respuesta.

sen 2 α + cos 2 α = 1
(0,4)2 + (0,6)2 = 0,16 + 0,36...