trigonometria













IlDENTilDADl ,S

TRIGONOMÉ,TRICAS










ÍNDICE PARTICULAR








3.1) FÓRMULAS FUNDAMENTALES 40
3.1.1) fórmulas de los inversos o de los recíprocos 40
3.1.2) fórmulas del cociente 42
3.1.3) fórmulas de los cuadrados 42
3.2) DEMOSTRACIONES 45
3.2.1) por similitud con algunafórmula 47 3.2.2)pasando a senos y/o cosenos 51 3.2.3) despejandode lasfórmulas 54
3.2.4) realizando las operaciones indicadas 56
3.2.5) binomios conjugados 57








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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS






3.1 FÓRMULAS FUNDAMENTALES



La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a deducir, llamadas fórmulas trigonométricas.

Se parte de las definiciones elementales (las cuales seestudiaron en la secundaria) de cada una de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.



sen θ = y ;
r
tan θ = y ;
x
sec θ = r ;
x
cos θ = x
r
cot θ = x r y
y
θ
csc θ = r
y x
figura 31




3.1.1) FÓRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECÍPROCOS

Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entre sí dan como resultado elelemento neutro de esa operación.

Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado a todo número. De manera que el inverso del número + 14 es el - 14, ya que al operar ambos dan como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En la multiplicación, el elemento neutro es el uno, ya que el uno dejainalterado en la multiplicación

a cualquier número. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resulta- do el uno (el elemento neutro de la multiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo . Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco .

De tal manera que el significado que a las siguientes seis fórmulas se le va a dar al término in- verso es el deinverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre sí dan el elemento neutro de la multiplicación: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un número n es el inverso multipli- cativo de otro número m, lo que significa que nm = 1, entonces puede escribirse por simple des- peje que

n = 1
m

o bien
m = 1
n

Puede verse en las relaciones trigonométricas de la página 40 que la funciónseno y la función
cosecante son recíprocos o inversos multiplicativos, ya que de su multiplicación se obtiene
y i r
= 1 ; igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que de su
r y


multiplicación se obtiene


x i r
= 1 y de la misma forma la tangente con la cotangente tam-
r x


bién lo son, ya que de su multiplicación se obtiene


y i x
= 1 . Demanera que las primeras
x y

seis fórmulas trigonométricas, llamadas por eso de los inversos o recíprocos , son:





○1 sen θ =
1
csc θ
○2 cos θ =
1
sec θ
○3 tan θ =
1
cot θ
○4 cot θ =
1
tan θ
○5 sec θ =
1
cos θ
○6 csc θ =
1
sen θ



A las fórmulas anteriores también se les conoce con el nombre de fórmulas de los recíprocos ya que, en particular, a los inversosmultiplicativos se les llama recíprocos. Dos números son recí- procos si se invierten respectivamente el numerador con el denominador. Por ejemplo, 3/4 y 4/3 son recíprocos; 2/9 y 9/2 son recíprocos. Es claro que si se multiplican entre sí dan la unidad, o sea el elemento neutro de la multiplicación, por lo que, conforme a la definición de la página 40, los recíprocos son también inversos. ¡Cuidado: losinversos son también recíprocos solamente en la multiplicación!.



3.1.2 FÓRMULAS DEL COCIENTE

Dividiendo el seno entre el coseno (ver figura 31, página 40) se tiene que:
y
sen θ = r
= yr =
y = tan θ
cos θ
x
r
xr x
e inversamente, dividiendo el coseno entre el seno se obtiene:

cos θ =
x
r = xr
= x = cot θ
sen θ
y
r
yr y
De manera que las siguientes dos...