Trigonometria

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

TRIGONOMETRÍA
Introducción
En el contexto de este capítulo, cuando hablemos de trigonometría hacemos referencia a triángulos y cuando se hable de hipernometría, estamos haciendo referencia a funciones hiperbólicas. Analizadas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es imporante profundizar en estas temáticas que son necesarias para afianzarlos conocimientos en este campo, como son las identificadas y las ecuaciones trigonométricas, también identidades hiperbólicas, cuyas temáticas inducirán al desarrollo en los estudiantes competencias cognitivas muy importantes en el campo de las matemáticas. Pero con la profundización no es suficiente; por lo cual, se hace un énfasis a la transferencia, por medio de diversas aplicaciones a travésdel análisis de ejemplos modelos, los cuales se deben estudiar con detenimiento para adquirir sólidos conocimientos y poder aplicarlos cuando así se requiera. Esperando; como sabemos que es, que este capítulo sea de su agrado y les de buenos aportes en trigonometría y hipernometría.

Objetivo general

. . . . .

Profundizar en los conceptos trigonometría analítica e hipernometría, quepermitan adquirir las herramientas para ser utilizadas cuando así se requiera.

Objetivos específícos
Analizar las identidades trigonométricas e hiperbólicas. Resolver identidades trigonométricas e hiperbólicas. Desarrollar ecuaciones trigonométricas. Estudiar los triángulos no- rectángulos y sus aplicaciones.
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DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
En trigonometría existen unas ecuaciones muyparticulares a las cuales se han llamado identidades trigonométricas, debido a que son ecuaciones que se satisfacen para cualquier ángulo. Existen unas identidades llamadas básicas, otras llamadas específicas.

Identidades básicas:

se definen a partir del análisis del círculo

trigonométrico unitario, analizado en el capítulo anterior. 1. Identidad fundamental, partiendo del teorema depitágoras y la relación de los lados del triángulo. h = 1 radio de la circunferencia unidad
h α x y

h2 = x2 + y2 ⇒ 1 = x2 + y2 y ⇒ sen ( α ) = y Pero: sen ( α ) = h x cos ( α ) = ⇒ cos ( α ) = x h

Si reemplazamos x e y en la ecuación de Pitágoras, tenemos: Como: x 2 + y 2 = 1 ⇒ cos 2 (α ) + sen 2 ( α ) = 1. Luego la identidad fundamental es:

sen 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1

A partir de ésta sepueden obtener otras identidades. 2. Identidades de cociente, sabemos que: sen ( α ) x y y cos ( α ) = , si hacemos el cociente sen ( α ) = cos ( α ) tenemos: h h y y sen ( α ) = h = . Este cociente por definición es tan ( α ) , luego: x x cos ( α ) h

tan ( α ) =

sen ( α ) cos ( α )
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cos ( α ) Ahora realicemos los mismo, pero alcontrario, es decir: sen ( α ) , entonces:

x x cos ( α ) = h = y y . Cociente que por definición es cot ( α ) , luego: sen ( α ) h
cot ( α ) = cos ( α ) sen ( α )

3.

Identidades recíprocas: se llaman así debido a que por definición, al intercambiar los términos del cociente de la relación trigonométrica se obtienen éstas. Veámos:

sen ( α ) =

y h

y csc ( α ) =

h ; y

entoncessen ( α ) y csc ( α )

1 son recíprocas, luego: sen ( α ) = csc ( α ) . Lo mismo con las demás. h x y sec ( α ) = , x h recíprocas. En general: cos ( α ) = sen ( α ) = 1 csc ( α ) 1 sec ( α ) 1 cot ( α )
entonces

cos ( α ) y sec ( α )

son

también : csc ( α ) =

1 sen ( α ) 1 cos ( α ) 1 tan ( α )

cos ( α ) =

también : sec ( α ) =

tan ( α ) =

también : cot ( α ) =

4.Identidades pitagóricas: a partir de la identidad fundamental, a veces llamada también pitagórica, se puede obtener las llamadas identidades pitagóricas. Si dividimos la identidad fundamental por cos ( α ) , tenemos otra identidad:

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sen 2 ( α ) cos ( α )
2

+

cos 2 ( α ) cos ( α )
2

=

1 cos ( α )
2

⇒ tan 2 ( α ) + 1 = sec 2 ( α ) , entonces:

tan 2 ( α )...