trigonometria

DESIGUALDADES
RELACIÓN DE ORDEN EN LOS REALES.
La relación de orden en los números reales nos permitirá iniciar un estudio
sistemático y fundamentado de las desigualdades o inecuaciones, tema importante
de la matemática que nos permite resolver una gran variedad de problemas
interesantes.
Principiaremos dando un panorama de los conceptos y definiciones más
importantes del orden en losreales, así como una serie de Teoremas sobre las
desigualdades.

AXIOMAS DE ORDEN.
La idea intuitiva que tenemos para indicar que un número real a es menor que el
número real b , consiste en hacer ver que a se encuentra a la izquierda de b en la
recta numérica, esta idea se puede formalizar a partir de un concepto primario de
Positividad, postulando la existencia de elementos positivos en losnúmeros reales.
POSTULADO. Existe en el conjunto de los números reales un subconjunto
P de elementos positivos
a positivo significa que a ∈ P
Geométricamente, los elementos o números positivos son los puntos de la recta
numérica situados a la derecha del cero.
_______________________________________ ∙ _____a_____________b_____________
0
Números Positivos
De aquí en adelante todos losconceptos y definiciones empleados para construir
el orden en los reales, estarán fundamentados en el concepto primario de Positividad
o existencia de números positivos.
La formalización del orden en los reales se considera con los siguientes Axiomas.
AXIOMAS DE ORDEN.
AXIOMA DE ORDEN 1. El conjunto P de números positivos es cerrado bajo
las operaciones de suma y producto en los reales, dicho enotras palabras, si
a y b son números positivos, entonces a  b y ab son también números
positivos.

1

AXIOMA DE ORDEN 2. Para cualquier número real a , una y solamente una
de las tres siguientes proposisiones es verdadera.
i) a es positivo. ( a ∈ P )
ii) a es cero. ( a  0 )
iii) −a es positivo. ( −a ∈ P )
Nota: − a indica el inverso aditivo del número a. Lo cual nos motiva aintroducir el
concepto de número negativo.

DEFINICIONES.
DEFINICIÓN 1. Un número real a es llamado número negativo si y sólo si −a es
positivo.
DEFINICIÓN 2. La relación ” menor que” .
Se dice que ”a es menor que b” , escrito a  b, si y sólo si, b − a es un número
positivo,
esto es
a  b  b − a ∈ P
Asociada con la Definición 2 tenemos la siguiente:
DEFINICIÓN 3.
i) a ≤ b si y sólo si a b ó a  b.
ii) a  b si y sólo si b  a.
iii) a ≥ b si y sólo si a  b ó a  b.
Empleando las definiciones anteriores y propiedades algebraicas del Campo de
los reales, se pueden justificar las expresiones:
a  0 para indicar que a es positivo y a  0 para indicar que a es
negativo.
Así por ejemplo tenemos que
a  0  0  a  a − 0 ∈ P  a ∈ P  a es positivo
DEFINICIÓN 4. El valorabsoluto de un número real a , escrito | a|, se define como
| a| 

a si a ≥ 0
−a si a  0

TEOREMAS
TEOREMA 1. Si
TEOREMA 2. Si
TEOREMA 3. Si
TEOREMA 4. Si

a
a
a
a






b,
b
b
b

entonces a  c  b  c , para cualquier real c.
y m  0, entonces am  bm.
y m  0, entonces am  bm.
y b  c, entonces a  c.

2

TEOREMA 5. Si a y b son dos reales cualesquiera,entonces una y solamente una
de las tres siguientes proposiciones es verdadera:
i) a  b
ii) a  b
iii) a  b
TEOREMA 6. Regla de los signos.
Si a  0 y b  0, entonces ab  0.
Si a  0 y b  0, entonces ab  0.
Si a  0 y b  0, entonces ab  0.
Si a  0 y b  0, entonces ab  0.
TEOREMA 7. a 2 ≥ 0, para cualquier número real a.
TEOREMA 8. Si 0  a  b, entonces a 2  b 2 .
TEOREMA 9. Sia 2  b 2 y a  0, b  0, entonces a  b.
TEOREMA 10. Si a  b y m  n, entonces a  m  b  n.
TEOREMA 11. Si a  b , m  n, a  0 y n  0, entonces am  bn.
TEOREMA 12. Las siguientes proposiciones con valores absolutos se cumplen
i) |a| ≥ 0,
ii) |−a|  |a|,
iii) |a| ≥ a
|a|
iv) |ab|  |a||b|,
v) a 
vi) |a| 2  a 2 ó |a|  a 2
b
|b|
vii) |a|   si y sólo si −  a   ....