Trigonometria

Mate

m

a á t i c 234
78

901

567

8

90

Tutorial MT-b9

Matemática 2006
Tutorial Nivel Básico
Trigonometría en triángulo rectángulo

12345

6

Matemática 2006

Tutorial

Trigonometría en triangulo rectángulo
1.Un poco de historia: Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los
campos de la navegación y la astronomía, en las que el principalproblema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre Júpiter y Marte, o una distancia que no podía ser medida de una forma directa. Su origen se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia, y se usaban para efectuar medidas agrícolas y además en la construcción de las pirámides. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos ysegundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a estudiarse como una rama de las matemáticas. 1.1 Definición: de un modo resumido podemos decir que la trigonometría es la parte de las matemáticas elementales puras, que trata de la resolución analítica de los triángulos, relacionando sus ángulos y lados. El triángulo ABC es rectángulo en C y lo utilizaremos para definir lasfunciones trigonométricas seno, coseno y tangente. 1.2 Seno α es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. 1.3 Coseno α es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. 1.4 Tangente α es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente, además equivale a la razón entre seno α y coseno α.
A

b

c

b c a Cos α = c

Sen α =

C

a

α

B

Tg α =

b a

Ejemplo:

Sen α =3 5

3 5 4 Cos α = 5 3 4

α

4
2 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Tg α =

2. Triángulos trigonométricos:
Dos triángulos muy utilizados en trigonometría son el triángulo rectángulo de ángulos 30º, 60º y 90º (medio triángulo equilátero) y el triángulo rectángulo isósceles, estos triángulos son utilizados principalmente para encontrar los valores de las funciones trigonométricasde los ángulos 30º y 60º en el primer caso y del ángulo de 45º en el segundo caso.
30º 2 45º

√3
60º 1

1

√2

45º 1

De donde se desprende que: Sen 30º = Cos 60º =
1 2 2

Sen 45º = Cos 45º = , racionalizando: √2
2 3

1 √2

Cos 30º = Sen 60º = √3 tg 30º =
1 √3

, racionalizando: √3

tg 45º = 1

tg 60º = √3

3. Secante, Cosecante y Cotangente:
Otras funcionestrigonométricas utilizadas son:
3.1 Secante α es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. 3.2 Cosecante α es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. 3.3 Cotangente α es la razón entre el cateto adyacente y el opuesto, además equivale a la razón entre coseno α y seno α.

3 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Matemática 2006

Tutorial
O sea: Secante α =hipotenusa 1 = cat. adyacente coseno α hipotenusa cat. opuesto

Cosecante α = Cotangente α =

=

1 seno α

cat. adyacente 1 = coseno α = cat. opuesto tg α seno α

Ejercicios:
1. α corresponde a un ángulo interno agudo de un triángulo rectángulo, si sen α = A) 12 B) C) D) 12 13 13 12 13 5 5 , cos α = 13

E) 5

2. α corresponde a un ángulo interno agudo de un triángulo rectángulo, si cosα = A) B) 32 15 12 9

9 , sen α + tg α= 15

C) 15 D) 12 E)
4 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

9 12

3. α y β corresponden a los ángulos internos agudos de un triángulo rectángulo, si 6 sen α = , sen β = 10

A) B) C)

4 5 8 6 10 8

D) 8 E)
6 10

4. sen 45º - cos 45º + sen 30º =

A) √3
3

B) √3
2 1 D) 2

C) √3

E) 1
5. cotg 45º + cosec 30º =

A) B)

1 3

22 D) √3

C) √3

E) No se puede calcular
5 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

Matemática 2006

Matemática 2006

Tutorial
6. ¿Cuánto mide el sen α, del siguiente triángulo? A) 5 B) 10 C) D) 6 10 4 5
8

E) Otro valor

6

α

7. ¿Cuánto mide sen α + cos α?, en el siguiente triángulo:

A) B) C) D) E)

12 13 5 13 17 13 26 10 25 26 25 ?,en el siguiente triángulo: 16
24...