Trigonometria

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Trigonometría

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS TRIGONOMÉTRIA
RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina vértice del ángulo. Los ángulos positivos semiden en sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el mismo sentido. La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos . Su etimología proviene de trigono triángulo y metría medida. Sea el siguiente triángulo rectángulo:
1

hipotenusa c b cateto opuesto

α

a cateto adyacente

Se definen las siguientes razones trigonométricas directaspara el ángulo α:
2

cateto opuesto b = hipotenusa c cateto adyacente a = coseno: cos α = hipotenusa c
seno: sen α = tangente: tan α =

cotangente:

cateto adyacente a = cateto opuesto b hipotenusa a = secante: sec α = cateto adyacente c cot α =
cosecante: csc α =

cateto opuesto b = cateto adyacente a

hipotenusa c = cateto opuesto b

En términos de variables, las funcionestrigonométricas son:

y = sen x y = cos x y = tan x
1 2

y = cot x y = sec x y = csc x

Recuérdese que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. Se entiende como razón al cociente que compara dos cantidades.

1

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De las definiciones anteriores, se puede concluir que:tan x = sec x =

sen x cos x 1 cos x

cot x =

cos x 1 = sen x tan x

csc x =

1 sen x

En caso de tener el valor de la razón trigonométrica, para obtener el ángulo, se aplica la razón trigonométrica inversa. Las seis razones trigonométricas inversas para el ángulo α son las siguientes: seno inverso:

α = sen −1 x

cotangente inversa:

α = cot −1 x
−1

coseno inverso:

α =cos −1 x
−1

secante inversa: α = sec cosecante inversa:
3

x

tangente inversa: α = tan

x

α = csc −1 x

En términos de variables, las funciones trigonométricas inversas se definen como :

y = sen −1 x
y = cos −1 x y = tan −1 x RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

y = cot −1 x
y = sec −1 x

y = csc −1 x

Para resolver triángulos rectángulos, basta con conocer sólo dosdatos. Las demás características se pueden deducir aplicando las expresiones anteriores y el teorema de Pitágoras que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equivale a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto es: c = a + b
2 2 2

Ejemplos. Dados los siguientes triángulos, obtener los datos que faltan: 1)

c=9

b =?

α=?
a=4

3

Es importante señalarque existen otras dos notaciones para las funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, para la función

trigonométrica inversa del seno es equivalente escribir:

y = sen −1 x = ang sen x = arc sen x ,

que respectivamente significan

ángulo cuyo seno y arco cuyo seno. Lo mismo sucede para las otras cinco funciones de este tipo.

2

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Solución.
2 2 2 Se sabe que c = a + b . Por lo tanto, despejando a se tiene:

a = c 2 − b 2 = 9 2 − 4 2 = 81 − 16 = 65 ≈ 8.062
sen α =
2)

65 = 0.895 ⇒ α = sen −1 (0.895 ) ≈ 63.50° 9

c = 16
b=?

α = 35°
a =?

Solución. Por la definición de coseno: cos35° =

a ⇒ a = 16(0.8191) ≈ 13.106 16

b = c 2 − a 2 = 162 − 13.10642 =256 − 171.77 = 84.23 ≈ 9.177
3)

c=?

b = 20

α=?
a = 17

Solución. Se sabe que

c 2 = a 2 + b 2 . Por lo tanto, se tiene:

c = 17 2 + 202 = 289 + 400 = 689 ≈ 26.248
tan α = 20 = 1.176 ⇒ α = tan −1 (1.176) ≈ 49.63° 17

4) Determinar la longitud de la sombra que se proyecta en el suelo por una persona de parada cerca de un arbotante cuya iluminación tiene un ángulo 48° .

1.80...