Trigonometria

FORMULARIO BÁSICO DE CÓNICAS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean P1x1, y1 y P2x2, y2
d= x2- x12+y2- y12 = x1- x22+y1- y22

PUNTO MEDIO
Las coordenadas del punto medio de P1P2 son:
xm= x1+ x22 ym= y1+ y22

RECTA
PENDIENTE
m = y2- y1x2- x1

ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA
θ = ang tg y2- y1x2- x1
Si θ ε (0o, 90o), la pendiente es positiva, si θ ε (90o, 180o), la pendiente esnegativa.
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
y – y1 = m (x – x1)

ECUACIÓN PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN
y = mx + b

ECUACIÓN DE LA RECTA CON DOS PUNTOS CONOCIDOS
y - y1 = y2- y1x2- x1 (x- x1)

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ax + By + C = 0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sean el punto P(x1,y1) y la recta Ax + By + C = 0
d= A x1+ B y1+ C+/- A2+ B2
el signo del radical es opuesto al signode C.
Si d es positiva, el punto y el origen están a uno y otro lado de la recta. Si d es negativa, se localizan en el mismo lado.

RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES
Sean las rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2.
1.- L1 y L2 son paralelas si y sólo si m1= m2
2.- L1 y L2 son perpendiculares si m1= -1m2

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Sean las rectas L1 y L2 con pendientesm1 y m2. El ángulo α medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde L1 a L2 es
α=angtan m2- m11+ m2m1

y
x
O
r
C(0,0)
CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

x2 + y2 = r2

CIRCUNFERENCIA CON CENTRO C(h,k)
r
x
y
O
C(h,k)

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Sea el indicador N = D2 + E2 – 4F

* Si N> 0 la ecuación representa una circunferencia con centro C( -D/2 , -E/2) y radio r= ½ N
* Si N = 0 la ecuación representa un punto de coordenadas ( -D/2 , -E/2)
* Si N < 0 la ec. representa ningún lugar geométrico

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X
p < 0
p > 0
y2 = 4px
F( p,0 )
L: x = -p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábolaabre hacia la derecha
p es negativa, abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y
p > 0
p < 0
x2 = 4py
F( 0,p )
L: y = -p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábola abre hacia arriba
p es negativa, abre hacia abajo
p < 0
PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
p > 0
(y – k)2 = 4p (x – h)
F( h+p ,k )
L: x = h - p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábola abre hacia la derecha
p es negativa, abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
p < 0
p > 0
(x – h)2 = 4p (y – k)
F( h , k+p )
L: y = k - p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábola abre hacia arriba
p es negativa, abre hacia abajo

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
A x2+ C y2 + Dx + Ey + F = 0

Representa una parábola cuando cumple las siguientes condiciones:
1.- Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0 (C y2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representa una parábola con eje focal coincidente o paralelo al eje x.
2.- Si A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0 (A x2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representa una parábola cuyo eje focal es coincidente o paralelo al eje y.

a
c
b
xV2(a,0)
V1(-a,0)
F2(c,0)
C(0,0)
F1(-c,0)
y
ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X
x2 + y2 = 1 a > b
a2 b2
c = √ a2 – b2
F1 ( -c,0 ) F2 ( c,0 )
V1 ( -a,0 ) V2 ( a,0 )

V2(0,a)
V1(0,-a)
b
c
a
F1(0,-c)
F2(0,c)
C(0,0)
x
y
ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y
x2 + y2 = 1 a > b
b2 a2
F1 ( 0,-c ) F2 ( 0,c )V1 ( 0,-a ) V2 ( 0,a )

EN AMBOS CASOS
LR = 2b2
a
e = c < 1
a
0

y
C(h,k)
X

ELIPSE CON CENTRO C( h,k ) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
( x - h )2 + (y - k )2 = 1 a > b
a2 b2
c = √ a2 – b2
F1 ( h-c , k ) F2 ( h+c , k )
V1 ( h-a , k ) V2 ( h+a , k )

0
y
x

C(h,k)
ELIPSE CON CENTRO C( h,k ) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
( x - h )2 + (y - k )2 = 1...