Trigonometria

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
ESCUELA DE GRADUADOS CONCEPCIÓN-CHILE

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
Myriam Ortega Saavedra, Miryam Vicente Parada y otros. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2003

Índice general
TRIGONOMETRIA 0.1. FUNCIONES CIRCULARES . . . . . . . 0.2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS . 0.3. FUNCION SINUSOIDAL . . . . . . . . . 0.4. FUNCIONESCIRCULARES INVERSAS 0.5. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS . . 0.6. TEOREMA DEL SENO . . . . . . . . . . 0.7. TEOREMA DEL COSENO . . . . . . . . 0.8. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . .
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ii xix xxvxxxii xxxvii xlii xliii xlvii

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TRIGONOMETRIA
0.1. FUNCIONES CIRCULARES

De…nición 0.1.1 Diremos que un ángulo está en POSICION STANDAR O NORMAL si su vértice coincide con el origen de un sistema coordenado rectangular y uno de sus lados, que llamaremos LADO INICIAL, coincide con el semieje positivo de las X. El cuadrante al cual pertenece al ángulo es el cuadrante en el que está el otrolado, que llamaremos LADO TERMINAL. Cada ángulo está asociado con un número real, llamado MEDIDA del ángulo, que representa cuanto debe rotar el lado inicial para llegar a coincidir con el lado terminal. Si la rotación se efectúa en sentido antihorario, se tiene un ángulo de medida positiva y en caso contrario se tiene un ángulo de medida negativa (ver Fig.-1) Fig.-1

A0B es un ángulo enposición normal, de medida positiva;

2 cuad: I:

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CAPÍTULO 4: Trigonometría

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F ig:-1

A0B es un ángulo en posición normal, de medida negativa; 2 cuad: IV: Los sistemas más comunes de medida de ángulos son el SISTEMA SEXAGESIMAL y el SISTEMA RADIAL. De…nición 0.1.2 Un GRADO sexagesimal es la medida de un ángulo del 1 centro de una circunferencia que subtiende un arco de longitudigual a 360 de la longitud de la circunferencia. Notación 0.1.1 1 grado = 1o : De…nición 0.1.3 Un RADIAN es la medida de un ángulo del centro de una circunferencia que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. Notación 0.1.2 1 radian = 1: Observación 0.1.1 : 1) En una circunferencia de radio r la medida ; en radianes, de un ángulo central que subtiende un arco de longitud testa dada por: = Notar que si r = 1; entonces t ,t=r r = t:

CAPÍTULO 4: Trigonometría

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2) Si es la medida en grados de un ángulo del centro, los dos sistemas de medida de ángulos que se han mencionado están relacionados por: 180 Ejemplo 0.1.1 : 1) Encontrar la medida en radianes de un ángulo de 58o : Solución: 58o = 180o = 5 [rad] ) 29 90 =

2) Calcular el suplemento de Solución:Sea

y expresarlo en grados.

el suplemento de ; entonces = 5 = 4 5

y 4 5 = 180 ) = 180 4 = 144o : 5

Consideremos la circunferencia unitaria con centro en el origen, x2 + y 2 = 1: De…nición 0.1.4 Sea t 2 R; t la medida de un ángulo en posición normal y sea P (t) el punto de intersección de la circunferencia y el lado terminal

CAPÍTULO 4: Trigonometría del ángulo (ver …g. 2) Fig.- 2v

0P = r = 1 P (t) se llama PUNTO TERMINAL del ángulo. De…nición 0.1.5 Se de…ne la función COSENO, como aquella que asocia a cada t 2 R; la abscisa del punto terminal P (t) : Escribiendo esta función con la notación usual se tiene: cos : R ! R t 7! y = cos t donde cos t es la abscisa de P (t) : De…nición 0.1.6 Se de…ne la función SENO, como aquella que asocia a cada t 2 R la ordenada delpunto terminal P (t) : Así: sin : R ! R t 7! y = sin t donde sin t es la ordenada de P (t) : El dominio de ambas funciones es R y el recorrido de ambas funciones es el intervalo [ 1; 1] ; esto es: jsin tj 1 ^ jcos tj 1

CAPÍTULO 4: Trigonometría De…nición 0.1.7 La función TANGENTE está de…nida por: tg : A t donde tg t = y R ! R 7! y = tg t sin t cos t

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Algunas de las características más...