Trigonometria

.

M´dulo 6
o

Trigonometr´
ıa
Gu´ de Ejercicios
ıa

´
Indice
Unidad I.

Razones trigonom´tricas en el tri´ngulo rect´ngulo.
e
a
a

Ejercicios Resueltos ............................................................................................ p´g. 02
a
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´g. 07a

Unidad II.

Identidades trigonom´tricas fundamentales.
e

Ejercicios Resueltos ............................................................................................ p´g. 09
a
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´g. 13
a

Unidad III.

Funciones trigonom´tricas para ´ngulos cualesquiera.
e
aEjercicios Resueltos ............................................................................................ p´g. 15
a
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´g. 18
a

1

Unidad I.

Razones trigonom´tricas en el tri´ngulo rect´ngulo.
e
a
a

Ejercicios Resueltos
1. Considere un ∆ABC rect´ngulo en C, concatetos AC = 8 cm, BC = 6 cm e hipotenusa
a
AB = 10 cm. Calcule respecto de los ´ngulos agudos α y β las razones trigonom´tricas
a
e
fundamentales.
Soluci´n
o
sen α =

6
= 0, 6,
10

sen β =

8
= 0, 8
10

cos α =

cos β =

8
= 0, 8,
10

6
= 0, 6
10

tan α =

tan β =

6
= 0, 75
8

8
= 1, 33...
6

2. Encontrar los valores de las funciones trigonom´tricas delos ´ngulos agudos del tri´ngue
a
a
lo rect´ngulo ABC, dados b = 24 y c = 25.
a
Soluci´n
o
Puesto que
Entonces

a2 = c2 − b2 = 252 − 242 = 49, a = 7.

sen α =

7
,
25
25
,
7

cosec α =

sen β =

24
25

cosec β =

25
24

cos α =

24
,
25

sec α =

cos β =

7
25

sec β =

2

25
,
24

25
7

7
24

tan α =

cot α =

tan β =

cot β =24
7

24
7
7
24

3. Considere un tri´ngulo ABC rect´ngulo en C, donde tan α = 2/5. Determine el valor
a
a
de sec α, cos α y cosec α

Soluci´n
o
Como tan α = 2/5, esto significa que en ∆ABC se tiene:
a = 2u,

b = 5u,

c=

(2u)2 + (5u)2 =

√

29u

Por lo tanto,
√
sec α =

29
,
5

√

5
cos α = √ ,
29

29
2

cosec α =

4. Encontrar los valores de lasfunciones trigonom´tricas del ´ngulo agudo β, dada tan β =
e
a
1, 5.
Soluci´n
o

Observe que 1, 5 = 3/2, con lo que podemos utilizar un tri´ngulo donde b = 3, a = 2.
a
√
√
√
Entonces c = a2 + b2 = 22 + 35 = 13
3
sen β = √
13

2
cos β = √
13

√
cosec β =

13
3

tan β =

√
sec β =

3

13
2

cot β =

3
2
2
3

5. Si α es agudo y tan α = x = x/1, determine losvalores de las otras funciones trigonom´trie
cas.
Soluci´n
o

Construya un tri´ngulo rect´ngulo ABC tal que a = x y b = 1. Entonces c =
a
a
sen α = √

√
cosec α =

x
,
+1

cos α = √

x2 + 1
,
x

sec α =

x2

1
x2

√

+1

,

x2 + 1,

√

x2 + 1

tan α = x

cot α =

1
x

6. Encontrar los valores de las funciones trigonom´tricas del ´ngulo 45o .
e
aSoluci´n
o

En todo tri´ngulo rect´ngulo is´sceles ABC, α = β =45o y a = b. Sea a = b = 1,
a√
a
o
√
entonces c = 1 + 1 = 2.
1
sen 45o = √
2
cosec 45o =

√

1
cos 45o = √
2
2

sec 45o =

4

√

2

tan 45o = 1

cot 45o = 1

7. Calcular los valores de x e y con aproximaci´n al entero m´s cercano.
o
a

Soluci´n
o
Puesto que
tan 40o =

x
, ⇒ x = 150 · tan 40o =150 · 0, 8391 = 126
150

cos 40o =

150
150
150
,⇒ y =
=
= 196
o
y
cos 40
0, 766

8. Calcular los valores de x e y con aproximaci´n al entero m´s cercano.
o
a

Soluci´n
o
Puesto que
tan 50o =

x
, ⇒ x = 150 · tan 50o = 150 · 1, 1918 = 179
150

sen 40o =

150
150
150
,⇒ y =
=
= 233
o
y
sen 40
0, 6428

5

9. ¿Cu´l es la longitud de la sombra ptoyectada...