Trigonometria

SENO
El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476–550 d. C.) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ardhá shia (en inglés ardha-jya),[1] siendo ardhá: ‘mitad, medio’, y shiá: ‘cuerda’). Por simplicidad; el término se terminó apocopando como shiá. Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al árabe, se referían a este término sánscrito como jiba (pronunciadoshiba, lo más parecido al sánscrito). Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado jb. Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir ‘bahía’). A finales del siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latínreemplazó el insensato jiab por su contraparte latina sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese sinus se convirtió en el español «seno».[2]
Según otra explicación,[cita requerida] la cuerda de un círculo, se denomina en latín inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha cuerda se llama semis inscríptae. Su abreviatura era s. ins., que terminó simplificada como sins. Para asemejarla auna palabra conocida del latín se la denominó sinus.
Con números complejos
También se puede definir de la forma:

Donde e es la base del logaritmo natural, e i es la unidad de los números imaginarios.
Como serie de Taylor
El seno como Serie de Taylor en torno a x = 0 es:

Seno de un ángulo doble
Tenemos que:

Hagamos entonces:

Derivada del seno
* Según la definición de derivada:* lo que es

* Entonces, usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, se tiene que

* Factorizando

* Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene

* Como:
esto es así ya que

reemplazando para y
Se tiene que:

y utilizando el límite conocido:
Se obtiene que el primer término es 0, entonces
*
* Como:

* Por ello puedesimplificarse, y se tiene que

COSENO
En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa:

En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo
Otro modo de obtener el cosenode un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.
En análisis matemático el coseno es la función queasocia un número real con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, . Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es

La serie de potencias anterior proporciona a su vez la extensión de la función coseno al plano complejo del siguiente modo:

Donde i es la unidad imaginaria.

Coseno de un ángulo doble
Tenemos que

Hagamos EntoncesCoseno del ángulo medio
Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea
Como
la podemos escribir como

Sea
Entonces obtenemos

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

Transformación de una suma de cosenos en producto

Demostración
Sabiendo que
Entonces

Hagamos y
Entonces,resolviendo el sistema se tiene que

Reemplazando se obtiene

Análogamente se demuestra para

Derivada del coseno
Según la definición de derivada:

lo que es

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

Sabiendo que y que el primer límite queda determinado, entonces

TANGENTE
En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la...