Trigonometria

Coordenadas cilíndricas


Un punto representado en coordenadas cilíndricas.
Artículo principal: Coordenadas cilíndricas.
El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende atres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notación de dichas coordenadas sea (r, θ, h).
Las coordenadas cilíndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:



[editar]Coordenadas esféricas


Un punto representado en coordenadas esféricas.
Artículo principal: Coordenadas esféricas.
Las coordenadas polares tambiénpueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al origen, φ es el ángulo con respecto al eje z (medido de 0º a 180º), y θ es el ángulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0º y 360º) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra,donde se sitúa el origen en el centro de la Tierra, la latitud δ es el ángulo complementario de φ (es decir, δ = 90° − φ), y la longitud l viene dada por θ − 180°.12
Las coordenadas esféricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espaciomediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto en coordenadas cilíndricas se representapor (ρ,φ, ), donde:
 ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano
 φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radiovector sobre el plano .
 : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .

Losrangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.
Contenido
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• 1 Relación con otros sistemas de coordenadas
o 1.1 Relación con lascoordenadas cartesianas
• 2 Líneas y superficies coordenadas
• 3 Base coordenada
• 4 Diferenciales de línea, superficie y volumen
o 4.1 Diferencial de línea
o 4.2 Diferenciales de superficie
o 4.3 Diferencial de volumen
• 5 Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

[editar]Relación con otros sistemas de coordenadas
[editar]Relación con las coordenadas cartesianasCoordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.
Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

[editar]Líneas y superficies coordenadas
Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:
Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje .
 Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
 Líneas coordenadas : Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquéllas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:
 Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
 Superficies φ=cte.: Semiplanos...