trigonometria

An
tioq
uia

Funciones trigonom´tricas de ´ngulos
e
a
Instituto de Matem´ticas*
a
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medell´ 25 de julio de 2011
ın,

1.

Introducci´n
o

2.

rsid

ad

de

La trigonometr´a es el campo de las matem´ticas que tiene como obı
a
jeto de estudio a los tri´ngulos y la relaci´n entre sus lados y los ´ngulos
ao
a
que estos forman, as´ como las funciones que surgen de dichas relaciones
ı
(funciones trigonom´tricas). Su origen etimol´gico deriva de los vocablos
e
o
griegos τ ριγωνo (trig¯non) que significa tri´ngulo y µετ ρoν (metron) que
o
a
significa medida.
La historia de la trigonometr´ y en particular de las funciones triıa
Figura 1
gonom´tricas puede abarcar un per´
e
ıodo de alrededorde 4000 a˜ os. Esta
n
disciplina, como la vemos actualmente, no fue el resultado de s´lo un grupo de indivuiduos o una
o
cultura, sino que fue un proceso en el que participaron grandes civilizaciones. Culturas como la egipcia
y babilonia tuvieron conocimiento previo sobre teoremas que involucraban proporciones que relacionaban las magnitudes de tri´ngulos rect´ngulos, pero carec´ delconcepto de medida de un ´ngulo. La
a
a
ıan
a
u
tablilla babilonia Plimpton (figura 1) contiene una columna de n´meros que se cree, constituye una de
los primeros registros sobre funciones trigonom´tricas.
e
Los astr´nomos babilonios mantuvieron un registro de mediciones realizadas sobre el movimientos
o
de planetas y estrellas y de eclipses, labores que requer´ familiaridad con la medici´n dedistanıan
o
cias angulares. Aunque los trabajos de Euclides y Arqu´
ımides no incluyen trigonometr´ en el sentido
ıa
estricto de la palabra, contienen problemas geom´tricos que son enunciados por medio de leyes trie
gonom´tricas. Las primeras tablas trigonom´tricas fueron aparentemente recopiladas por Hiparco de
e
e
Nicea (180 - 125 a.C.), quien es conocido como el padre de latrigonometr´a.
ı

´
Angulos

B

Un

2

ive

´
Definici´n 2.1 (Angulo). Un ´ngulo es la figura geom´trica formada por dos semirectas
o
a
e
que tienen un punto extremo en com´n O.
u
1:

lado inicial del ´ngulo
a

2:

lado terminal del ´ngulo
a

O: v´rtice del ´ngulo
e
a

A

1

O

* Esta

Notaci´n: ∠AOB
o

obra es distribuida bajo una licencia Creative CommonsAtribuci´n - No comercial 2.5 Colombia.
o

1

1

y

2

2
Ejemplo 2.1. .
2

2

O

O

2

O

1

1

Definici´n 2.2 (Posici´n est´ndar de un ´ngulo). .
o
o
a
a
y

An
tioq
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Instituto de Matem´ticas, Universidad de Antioquia
a

1

V´rtice O coincide con el origen
e
2

Lado inicial
θ

1

coincide con el eje x

´
Angulo positivo:

1

x

´
Angulonegativo:
Ejemplo 2.2. .
y

y

y

2

α

γ

1

1

1

x

x

de

x

β
2

Medida de ´ngulos
a

ad

2.1.

2

Los ´ngulos se pueden medir en grados y radianes.
a

Ejemplo 2.3. .
y

rsid

Definici´n 2.3 (Grados sexagesimales). Un grado (1◦ ) es la medida de un ´ngulo cuyo lado terminal
o
a
se obtiene al rotar el lado inicial 1/360 de circunferencia ensentido contrario a las manecillas del
reloj. Un grado se divide en sesenta minutos (1◦ = 60 ) y un minuto en sesenta segundos (1 = 60 ).

y

y

180◦

y

Un

x

ive

360◦

y
90◦

x

y

45◦
x

x

y

y
150◦

60◦

240◦

30◦

x

x

x

x

3

An
tioq
uia

Instituto de Matem´ticas, Universidad de Antioquia
a

De acuerdo a su medida, los ´ngulos sepueden clasificar como
a
Terminolog´
ıa

Definici´n
o

Ejemplo

´
Angulo agudo

0◦ < θ < 90◦

θ = 65◦

´
Angulo obtuso

90◦ < θ < 180◦

θ = 145◦

´
Angulos complementarios α y β

α + β = 90◦

α = 25◦ y β = 65◦

´
Angulos suplementarios α y β

α + β = 180◦

α = 25◦ y β = 65◦

Definici´n 2.4 (Radianes). Un ´ngulo central es un ´ngulo cuyo v´rtice est´ en el...