Trigonometria

Trigonometría

La palabra trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metria (medida). En sus orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se encuentren comportamientosque se repiten cíclicamente. Sirve para estudiar fenómenos vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad., etc.

Sistemas de Medición de Ángulos

Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más usados son

✓ Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza 1º.La sesenta-ava parte de un grado es un minuto (1’) y la sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”).

[pic]

Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º.

✓ Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo central αy los radios r correspondientes, permite tomar como medida del ángulo el cociente [pic] . Un ángulo central de 1 radián es aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio.

Ejemplo: Si ( determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio, entonces la medida en radianes de β es: [pic]. En el sistema circular, β mide 3 radianes, o decimos que mide 3, sinindicar la unidad de medida.
La medida en radianes de un ángulo de un giro es [pic].
La medida en radianes de un ángulo llano, que es la mitad de un giro, es [pic]
La medida en radianes de un ángulo recto es [pic].

Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente tabla:

|Ángulo |Sistema sexagesimal |Sistema circular |
|1 giro|360º |2 ( |
|llano |180º |( |
|recto |90º |(/2 |

¿A cuántos grados sexagesimales equivale un radián?

Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del ángulo llano, tenemosπ 180º
1 [pic]
Nota: ( es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de ( radianes equivale a un ángulo de 180º. Pero ( ( 180.

Actividad:

a) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando fracciones de (:
30º 45º 60º 120º
b) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes:
21/2 (/2 2(
c) Efectuar las siguientes operaciones.
• Hallar el ángulo complementario de 56º 41’ 27’’
• Hallar el ángulo sumplementario de 102º 25’
• ¿Cuánto mide el ángulo que supera en 12º 33’ a la quinta parte de 39º 40’ ?
• El minutero de un reloj es de 12 cm de largo. ¿Qué recorrido realiza la punta de la manecilla en 20 minutos?

Razones trigonométricas de unángulo agudo

Recordemos las definiciones de las razones trigonométricas.

[pic] [pic]

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Observación: Estas razones dependen sólo del ángulo ( y no de las medidas de los lados del triángulo construido.

Las definiciones de las razones trigonométricas de ángulos agudos pueden extenderse para cualquier ángulo. Para eso, consideramos el ángulo ( en el plano cartesiano, haciendocoincidir su vértice con el origen de un sistema cartesiano ortogonal, y su lado inicial con el semieje positivo de las x .

También definimos las razones trigonométricas recíprocas de las anteriores, llamadas cosecante, secante y cotangente:

[pic]

Nota: Las fórmulas anteriores son válidas cuando no se anulen los denominadores.

También se verifican las siguientes relaciones

[pic]...